CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

OÙ Ao n'est pas nulle, dont l'intégrale indéfinie (157)

Ch ^ — <-«''+« -h...,

si^>- ï, ou C + Ao/(^)-f-. . . , si ^= 1, est infinie en ^ = o.

Ainsi donc les n — i intégrales fondamentales (i) où ^ a les valeurs o, i , . . . , n — 2 sont finies pour x infinie ; on les nomme intégrales de première espèce.

Au contraire, les n autres où cet exposant a les valeurs n — 1 , n, ..., ^n — 2 sont infinies pour x infinie, et sont dites de deuxième espèce,

297. Quant aux intégrales fondamentales de la forme (8) du même n" 224, chacune d'elles devient infinie, mais seulement pour la valeur CI de Xj qui annule le multiplicateur linéaire du radical; on s'en assure en posant x = û -\- t et raisonnant comme cidessus (296, 2"). On les nomme intégrales de troisième espèce.

Le nombre et les valeurs des quantités d dépendent non seulement de la nature du poljnome <p(x), mais encore de celle de la composante rationnelle F. Pour un même polj^nome ^{x), le nombre des intégrales de troisième espèce, qui est celui des quantités dont il s'agit, est donc illimité, ce qui n'a pas lieu pour celles de première et de deuxième espèce. Néanmoins si, dans l'intégrale en question

dx

{x — a)jr

on considère tt comme une variable paramétrique, on peut dire quHly a une seule intégrale de troisième espèce, fonction des deux variables ^, a. Cette seconde variable tt se nomme \e paramètre de l'intégrale de troisième espèce. La distinction faite au n*' 224 entre les cas où a est ou n'est pas un zéro de f (^), devient alors très secondaire.

298. Pour les intégrales elliptiques (225) doht nous allons maintenant nous occuper, on a 2/1 = 4j et, d'après ce qui précède, chaque détermination du polynôme biquadratique ^{x) donnera seulement comme fonctions nouvelles pour nous une inté-

grale de première espèce

dx

deux intégrales de deuxième espèce

, . r X dx r x^dx

e^ une intégrale de troisième espèce

dépendant tant de x que de son paramètre tt.

Première étude de la fonction inverse de l'intégrale elliptique

de première espèce.

299. La théorie des intégrales elliptiques a pour base les propriétés de celle de première espèce (3) du n** 298, que nous allons tout d'abord étudier.

Désormais nous appellerons u la variable d'Intégration, puis a, 6, c, d les quatre zéros simples el nécessairement inégaux du polynôme biquadratique <p(w) qui prend ainsi la forme

où la constante G est ^^ o.

Nous appellerons x une détermination donnée quelconque de l'intégrale indéfinie de première espèce, de manière à avoir

/du

u) oc =

ou bien, ce qui revient au même,

du

u désignant maintenant la fonction inverse de l'intégrale indéfinie, dont la considération est préférable.

300. La discussion de l'intégrale de l'équation (2), précisée par