CHAPITRE VIII. ~ ORiaiNB DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

des coDditioDS initiales données, et considérée seulement pour des valeurs de x suffisamment voisines de sa valeur initiale, conduit aux résultats suivants.

I. Si pour X = aro, valeur quelconque de ar, on doit avoir u = w©, valeur quelconque de u non égale à l'un des quatre zéros a^ 6, Cj d de <p(^)) le radical figurant dans le second membre de (2) est olotrope parce qu^il ne s'évanouit pas (123), et, en vertu de la théorie générale des équations difTérentielles totales (301*), cette équation admet une intégrale qui est olotrope en Xq.

On sous-entend toutefois, que le radical a été exactement précisé par un choix préalable fait entre les deux déterminations initiales opposées dont il est susceptible pour u = e/o* Si Ton admettait indistinctement ces deux déterminations, notre équation différentielle aurait deux intégrales distinctes (olotropes en x^ et s'y réduisant à f/o)-

II. Si pour x = Xq^ u doit se réduire à Vun des quatre zéros de 9(^1), à a par exemple, le changement de fonction inconnue

( 3 ) u = a -\~ u'Jl^

transforme notre équation en une autre se dédoublant en

(4) <'a = o (identiquement),

et simultanément la condition initiale en </^= o, pour x^=Xq.

A cause de l'inégalité numérique des zéros de f (^), le radical de Téquation (5) ne s'évanouit plus en a^= o; il y est donc olotrope (12o), et par suite cette équation, comme (2) dans le cas ci-dessus (I), admet en ^ = Xq deux intégrales olotropes qui correspondent aux deux déterminations maintenant distinctes du nouveau radical.

Mais chacupe d'elles est égale au produit de l'autre par j— i; car, en changeant u^ en — w^ dans l'équation (5), on ne fait que passer de la détermination du radical (où u'^ entre seulement par lî^) à la détermination opposée, sans modifier la condition initiale. En les portant donc, ainsi que u^=^o (4)) dans la formule (3), on trouvera pour u deux fonctions seulement se

réduisant à a pour x = Xo^ et toutes deux y sont olotropes; l'une reste égale à a quelle que soit j?, Vautre est variable,

III. U équation (2) admet deux intégrales assujetties à la condition d^étre infinies pour x = ^©î toutes deux sont méromorphes en ce point,

La substitulion

/c\ ' Ay ^ du I du'

transforme l'équation (2) en

(7) -j- = — ^G{ i — au" ){i — bu" ){i — eu" )i^i^ du ),

et la condition initiale en u" = o, pour x = Xq.

Comme ce nouveau radical ne s'annule pas en u" = 0^ il y esl olotropCy et, sauf distinction faite entre ses deux valeurs initiales, l'équation (7) admet deux intégrales nulles et olotropes enx = x^ (I). En les portant dans la formule (6), on obtient deux fonctions non olotropes en j:©? mais méromorphes, parce que leurs inverses arithmétiques u" y sont olotropes (43) ; ce sont les deux intégrales que notre énoncé mentionne pour l'équation (2).

301 . Dans toute l'étendue du plan, une intégrale déterminée quelconque de notre équation différentielle peut être calculée indéfiniment par cheminement, soit directement, soit indirectement par l'intermédiaire des fonctions a^, w^, m^, m^^, vf cidessus (300), et elle y est méromorphe,

I. Pour toute valeur de u^ tombant dans une aire S^ contenant le point w^ = o, et délimitée de telle sorte que la distance de l'un quelconque de ses autres points à celui-ci reste inférieure à une quantité positive f\ moindre elle-même que le plus petit module des^racines carrées de 6 — a, c — a, d — a, le radical de l'équation (5) reste olotrope, parce qu'il ne peut s'y évanouir. On peut donc, puisque ce radical n'est pas compliqué de x, assigner un même olomètre p^ à l'intégrale w^, pour toutes les valeurs de x qui font tomber la valeur de cette fonction auxiliaire dans SJ^, et, par suite aussi, en vertu de la relation (3), à notre intégrale Uy pour

CtlAPITRE YIII. — ORIGINE DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES. 317

toutes les valeurs de x qui font tomber la sienne dans une aire S^, délimitée autour du point a, de manière qu'aucun de ses points ne s'écarte de celui-ci d'une distance supérieure à r\^ (301*).

On déterminera semblablement trois autres quantités positives p^, p^, p^, et trois aires S^, Se, S</ contenant les points m = è, Cy dj lesquelles jouiront de cette propriété, que pour toutes les valeurs de x plaçant celle de u soit dans S^, soil dans S^, soit dans S^, cette fonction ait pour olomètres p^, p^, p^ respectivement.

On peut de même assigner un même olomètre p" à w''= -,

intégrale de l'équation (7), pour toutes les valeurs de ^ qui placent celle de u" dans une aire S^ contenant u'^=o, et telle que les modules des quatre quantités au'', bu"^ eu" ^ du!' j restent inférieurs à une quantité positive 0 <C i , c'est-à-dire qui font tomber u dans une aire (illimitée) S^ dont tous les points sont séparés du point u = o

par une distance supérieure aux modules des quantités "û» â' â' ë'

Appelons enfin S ce qui reste du plan servant à la notation graphique de £/, après l'ablation des aires Sa, S^, S^, S</, S^; il est évident que cette aire est limitée et que le radical y est olotrope, puisqu'il ne s'y évanouit pour aucune valeur de w (ni de j: qui n'y entre pas). On peut donc encore, toujours en vertu de la théorie générale (301*), assigner un même olomètre p à notre intégrale u, pour toutes les valeurs de x qui ne la font pas sortir de S.

Comme la réunion des aires S^,, S*, Se, S^, S., S reconstitue la totalité du plan où nous notons u, il est clair qu'en appelant 8 la plus petite des quantités p^, p^, p^, p^, p", p, on peut calculer u par cheminement dans tout le plan de notation de x en faisant des pas d'amplitude au moins égale à S. Seulement l'opération qui est directe quand u tombe dans l'une des aires S^, S^, Se, Sa et S est indirecte quand la valeur de cette fonction se trouve dans S.; elle s'eiLécute sur la fonction auiiliaire u" d'où l'on repasse à w au moyen de la formule (6).

II. Soient enfin Sx une aire de dimensions inférieures à 8, délimitée arbitrairement dans le plan servant à la notation graphique de X, Xi une valeur de celte variable intérieure ksx, et «// la valeur atteinte par u en ce point. Dans 5a; et d'après ce qui précède, cette

318 DEUXiftMB PARTIE. — FONCTIONS D*UNE SEULE VARIABLE.

fonction est olotrope, si ui tombe soit dans S^, soit dans S^. soit dans Sc) soit dans S<f, soit dans S, et méromorphe seulement (43)

si c'est dans S. puisque «"= - est certainement olotrope enx/.

Quoi qu'il puisse arriver, elle est donc méromorphe au moins dans Sx, partant dans toute aire limitée, puisqu'on peut évidemment décomposer celle-ci en un nombre limité de fragments analogues à Sxy c'est-à-dire indéfîniment.

302. En exceptant comme de raison les quatre intégrales (singulières) de l'équation (2) u = a^ b^ c, rf, qui sont identiquenienl constantes, et appelant E(a:) une des intégrales ordinaires variables que désormais nous considérerons exclusivement, il résulte de tout ce qui précède que cette fonction E(:r) est indéfiniment méromorphe, et qu'elle est entièrement déterminée par la connaissance : 1° de la valeur Uo = E(j:o) qu'elle prend pour une valeur particulière Xq de x ne la rendant pas infinie; 2® quand o{ih)

n'est pas nulle, de la valeur correspondante Rjr, du radical y^'f («), choisie naturellement parmi les deux valeurs numériques opposées

dev^'f(^^o)-

Oci rappelé, on a le théorème fondamental dont voici l'énoncé :

Quelle que soit U, Inéquation numérique

(8) E(x)=zl]

a une infinité de racines finies, et, en appelant X une quelconque d^ entre elles, toutes sont fournies par les formules

(9) x= X -h mil -4- /iii,

(10) a? = S — X-h/nlI -h /lû,

oà nij n sont des entiers {positifs ou négatifs) absolument indéterminés, et S, II, Q trois constantes dont les deux dernières ont un moment y^ o (257).

I. La quantité ar© étant arbitraire, nous la choisirons de telle sorte que Mq = E(j:o) ne soit égale à aucune des quantités a, 6, c, rf, ce qui est possible, puisque E(^) ne dégénère pas en une constante; ensuite nous observerons que E(a;) étant indéfîniment méromorphe, les racines de l'équafion (8) sont les diverses valeurs