CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

acquises en U, au bout de tous les chemins conduisant de a = Uo k u = Uj par la racine variable x de Téquation

(il) E(X)=M,

que précisent les conditions initiales x = Xq, pour uz=: uo, condition ne comportant aucune ambiguïté, puisque E'(xo) = \/'^Uio) n'est pas nulle (48).

La fonction implicite x que déGnit cette équation finie n'est pas autre chose que l'intégrale de l'équation dififérentielle

dx I I

du E\a;) /cp(a)

déterminée par la même condition initiale accompagnée de

^^{u) = R,^, pour u == Uq, Il en résulte que les racines de notre équation (8) sont égales aux diverses valeurs de V expression

r du

(12) To

U intégrale

du

étant prise sur tous les chemins imaginables qu'on peut tracer de Uo à U, et la valeur initiale du radical étant toujours = R^.^. La fonction placée sous le signe f ne cesse d'être olotrope qu'aux points a, ft, c, d; un quelconque de ces chemins peut donc être amené par déformation progressive, faite dans un espace où cette fonction reste olotrope, n'altérant pas par suite la valeur de rinlégrale (i3), à se composer d'une succession, avec ou sans répétitions, de quelques-unes des boucles simples

allant de Uo à Uo et enveloppant une seule fois chacune le point correspondant à l'exclusion des trois autres, puis d'un chemin

(i5) [uoV]

tracé arbitrairement et une fois pour toutes de Wo à U (229*, U).

Nous appellerons I la valeur de Finlégrale (i3) prise sur ce dernier chemin, et X la valeur correspondante Xq-^-I de l'expression (12), qui est une première racine de Téquation (8).

II. L'intégrale (li), prise sur l'une des boucles (i4)j (a) par exemple, a une valeur A„^ indépendante du sens de rotation dans lequel cette boucle peut être parcourue; on a de plus

(16) A„. = '2 r -fiL= (239-),

r intégrale étant prise sur un chemin [wo^] tracé de Uq à a, de telle sorte que, doublé par lui-même en sens in\?erse, il puisse être considéré comme une boucle {u^auQ) limitant a\^ec (a) une aire ne contenant aucun des points 6, c, d.

Soient [^/o^oJS ['^0^0]'' l^s chemins d'intégration constitués par la boucle (a) parcourue ci partir de Uo dans les deux sens de rotation possibles, A|^^, A^^ les valeurs correspondantes de notre

intégrale, et '^(w), "^{u) les valeurs acquises par - pu un

même point u de ces deux chemins géométriquement identiques, après le parcours des arcs de l'un et de l'autre qui conduisent de Uo en ce point, le radical, lui, partant dans les deux cas de la même valeur initiale R- .

On a 'f!^(u):= — ''^(m), parce que chacun de ces arcs devient équivalent à l'autre quand on le fait précéder de la boucle (a) (166, II), (113, infine)\ il en résulte évidemment

parce que [wq^o]" n'est pas autre chose que [uqUoY parcouru à rebours.

Déformons enfin la boucle (a), sans qu'elle franchisse aucun des points a, 6, c, rf, jusqu'à ce qu'elle se compose : i°d'un arc[ Woa] du chemin [tto<3j]> limité à un point a se rapprochant indéfiniment de a ; 2® d'un contour fermé [aa] de dimensions infiniment petites, enveloppant a une fois seulement; 3** de l'arc [oluq] géométrique-