CHAPITRE YIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

ment égal à [^^o^]* On aura évidemment sans cesse

*^lM,aî •/{«al "^{aMol

- r" du r du

la première intégration devant s'effectuer sur [mq*] à partir de la valeur Rj^.^ du radical, et la seconde sur le contour [aa] à partir de la valeur finale à laquelle le chemin précédent a conduit le même radical.

En posant ç(tt) = (w — a)'fi(u)^ on a évidemment sur le contour [aa]

<p,(M) = Ao4- Ai(m — a)-i-.. .,

d'où

[?(")] ~*=(u-a) H<fi(u)] î=Ho(a-a) *-4- Hi(tt-a)»-+-. . .,

parce que ho = (f^ (a) n'est pas nul^ on en conclut (157)

puis

/ -7=^=2(a-a)»rjHo-f.?H,(a — a)H-...|,

parce que, de a en a sur le contour [aa], (u — a)' passe toujours de sa valeur initiale à la valeur opposée (126), (113). Celte dernière quantité tendant vers zéro quand a tend vers a, on a bien

(17) A„. = 2lim ^--^=2 T-^ (239*).

du r^ du

Nous représenterons par

(l8) A-Mo» ^Wo» ^"i» *^W«

les valeurs de l'intégrale (i3) prises respectivement sur les boucles (i4)* Elles ne sont pas indépendantes de la position du point {/(i; car, s'il passe en u^ après avoir décrit l'arc [wo^i]? sans, bien entendu, que la boucle correspondante franchisse quelqu'un des points a, b, c, d, la formule (17) montre que chacune d'elles M. — II. 21

diminue de

rintégrale étant prise sur cet arc.

III. Les valeurs de l^ intégrale {i 3) y prises sur les boucles (1^)^ allongées du chemin (i5), sont respectivement

Car le parcours de la boucle («), par exemple, donne d^abord une partie de Fin tégrale qui est égale à A„^ ( II ) , et ramène en w = k«,

le radical y/^^ à la valeur finale — R,, (166, II), (113). Cette quantité étant bien la valeur initiale qu^il faut attribuer au radical pour achever Tintégration sur le chemin (i5), on trouvera — ï pour dernière partie de l'intégrale, puisque nous avons appelé I ce que donne le même chemin quand le radical part de R^.^.

IV. L'intégrale (i3) prise consécutivement sur deux desboucles (i4)> {à) puis {b) par exemple, suivies du chemin (i5), a pour valeur A„^ — B„^ -|- I.

Nous venons de constater que le parcours de la boucle (6) suivie du chemin (i5) donne B,^^ — I; en plaçant la boucle (a) avant le nouveau chemin ainsi composé, on trouvera donc, comme ci-dessus (III),

excès sur ce qu'il fournirait seul, de ce que donne la boucle qui le précède.

Si les deux boucles considérées se réduisaient à la même parcourue deux fois, (a) par exemple, on trouverait é\îdemmentpour rintégrale A^, — (A„^— - 1) = I.

On remarquera que la succession de deux boucles (a), (6), constitue un chemin fermé équivalent à tout autre enveloppant dans un sens déterminé convenable les deux points a, 6, à l'exclusion des autres c, rf, et sur lequel le calcul de l'intégrale (i3) donne pour résultat A,^^ — B,^^. Ici le résultat ne dépend pas de la position de «/oî car, en passant de u^ku^, A„^ comme B,^ diminuent simultanément de la quantité (19), ce qui ne change pas leur