CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES

différence. On le verrait encore en raisonnant comme ci-après (V, tVî/.), c'est-à-dire en prouvant qu'entre deux chemins fermés

de cette espèce \l^{u) reste olotrope, ce qui entraîne l'égalité des valeurs de l'intégrale (i3), prise sur l'un et l'autre dans des sens de rotation identiques (229*, V). Mais le résultat dépend de l'ordre dans lequel les boucles se succèdent; il est A„^ — B^ pour l'ordre (a), (6), et B„^ — A„^ naturellement pour l'ordre (6), (a). Un raisonnement analogue à celui de l'alinéa (II) donnera

l'intégrale étant prise sur un chemin tracé de a à 6, de manière que sa duplication faite à rebours donne un contour fermé, déformable jusqu'à celui que composent (a), (6), sans que c, d soient franchis. En un point a. très voisin de a sur le chemin, il faut faire un choix convenable entre les deux déterminations du radical, sans quoi le second membre de cette formule serait non égal, mais opposé au premier.

On notera encore que le parcours de deux des boucles (i4) (différentes ou identiques) ramène le radical à la valeur R^. ; car celui d'une seule l'amène à la valeur — R^,^ que celui de l'autre change en — ( — RjpJ = Rj.^. De même pour toute autre combinaison de ces boucles prises en nombre pair.

Si, au contraire, on prenait des boucles en nombre impair, la valeur finale du radical serait — R^^.

V. En supposant, comme il est permis de le faire, les boucles (i4) tellement tracées que, sans franchir aucun des points a, b, c, rf, on puisse déformer le contour fermé que donne leur soudure les unes aux autres faite dans l'ordre ou nous les avons écrites, de manière à le superposer à un contour J'ermé{¥J) bordant une aire où ces quatre points tombent simultanément, on a

(21) A,/, — B„, H- Cm, — D„^ = o.

Par exemple, si aucune des quantités a, 6, c, d n'étant sur le segment rectiligne tracé d'une autre à 2/09 elles se trouvent écrites dans Tordre circulaire où les rencontre une demi-droite

324 DEUXlinZ PABTIE. — F03ICTIOX8 h'VSZ 9WCLE TABIABIX.

pivotant aotonr de ce point dans on sens de rotation constant, on réalisera cette disposition en faisant les quatre boucles équi^*alentes aux quatre segments rectilignes [if^a],! [i/«6], . . •, doublés cbacun par lui-même pris à rebours (II).

La fonction est localement olotrope dans Paire comprise

entre le contour (K) et celui qu'a créé la soudure des quatre boucles, parce que (f{u) ne s'y évanouit jamais. Elle j est en outre monodrome, car deux chemins de mêmes extrémités tracés dans cette aire peuvent se déformer de l'un à Fautre, soit sans franchir aucun des quatre points a, 6, c, d, soit en les franchissant autant de fois les uns que les autres, ce qui multiplie la valeur finale da radical par une puissance de — i dont Texposant est nul ou multiple de 4* Elle y est donc olotrope d'une manière absolue ( IT^"*), et rinlégrale (i3) a des valeurs égales, soit sur Tun, soit sur l'autre de ces contours fermés qui la bordent, l'un intérieurement, l'autre extérieurement, quand on les parcourt, bien entendu, dans des sens de rotations identiques (229*, V).

Sur les quatre boucles soudées, l'intégrale est égale à

Sur (K), sa valeur est indépendante des dimensions de ce contour dont nous pouvons ainsi supposer tous les points infiniment éloignés de l'origine. Alors en posant, comme au n** 300, 111,

« = -7r> d'où du = wi du"^ rinlégrale dont il s'agit est égale à

du"

v/G(i — aw*)...(i — du")

prise sur le contour fermé {^) décrit par «"= - pendant que «

décrit (R). Les points de (R") pouvant être supposés aussi rapprochés qu'on le veut de o, valeur de u" qui n'annule pas ce nouveau radical, la fonction sous le signe est olotrope à l'intérieur de (R') et l'intégrale est nulle (229% III); d'où la relation (21).

VI. Un chemin formé par une soudure de boucles (i 4 ) prises en tel nombre et en tel ordre qu^on voudra, puis terminé par