CHAPITRI VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 32J

le chemin (i5) donne pour Vintégrale (i3) une des cinq quantités

augmentée d'une somme de multiples entiers {positifs ou négatifs) des six différences

des quantités (i8) prises deux à deux.

Dans un pareil chemin, toute paire de boucles identiques et continues n'a aucune influence sur la valeur de Fintégrale, ni sur la valeur initiale à attribuer au radical pour poursuivre l'intégration après leur parcours (IV).

Si donc les boucles restant après la suppression des paires de ce genre sont en nombre pair, elles donnent une partie de l'intégrale évidemment égale à une somme de multiples entiers des différences (23), ramènent le radical à la valeur R^^, après quoi le parcours du chemin (i5) donne une dernière partie égale à I.

Si elles sont en nombre impair 2 A: -h i , les 2 A: premières donnent, comme tout à Theure des multiples entiers des difTérences (28) et ramènent le radical à R^^; puis (III) la (2^-1-1)*^"* suivie de [£/oU] ajoute à cette somme quelqu'une des quatre dernières quantités (22).

VU. Actuellement représentons par II et Û deux des différences (23) ayant un terme commun, en posant, par exemple,

On aura d'abord

puis on trouvera successivement, en ajant égard à l'égalité (21),

I ^"•"" ^"« = - °' ^"•'" ^"^ = - n -*- û, B,,,— D„, = - an -h û,

moyennant quoi les valeurs ci-dessus (VI) de l'intégrale (i3) prennent les formes

(aC) I-hmn + /ii2 et A„,— I H- mil + /lû.

En ayant donc égard à la relation X = a:o-hI(l)et posant

il est évident que les valeurs de l'expression (12), c'est-à-dire les racines de l'équation (8), sont bien celles qu'assignent les formules (9), (10).

Inversement, toutes les valeurs de x données par ces formules sont des racines de cette équation. 11 est évident, en effet, qu'une soudure convenable de boucles (i4)ï placée avant le chemin (lo), peut faire acquérir à l'intégrale (i3) une valeur égale à l'une quelconque des quantités (26).

VIII. Il nous reste à prouver qu'entre les éléments de II, û on a l'inégalité

A cet effet, faisons mouvoir x sur un chemin \^Xq\\ ne contenant aucun infini de E(^), ce qui est possible puisque cette fonction, étant indéfîniment méromorphe (301), ne peut offrir dans une aire limitée quelconque, que des infinis en nombre essenliellement limité (31 ). Le point u = E(a:) décrira simultanément une ligne limitée [wo^]j de «o = E(a;o) à u = E(i); et inversement (I), l'intégrale (i3) prise sur cette ligne est égale k\ — JCo*

En appelant Ç^**' — Xq la valeur de la même intégrale prise sur quelque autre ligne [^ou]^®^ tracée arbitrairement de u^di u, on pourra, d'après ce que nous avons remarqué à la fin de l'alinéa VU, trouver pour les entiers m, n des valeurs donnant

(29) mn -h /lû = soit Ç — ^(oJ, soit \ — [A„,— ï^o)].

Maintenant la quantité Ç est arbitraire en module et en direction, sauf la minime restriction de n'être pas un inCni de E(^); d'autre part, et cela parce que l'intégrale (i3) est de première espèce (296, i**), la quantité Ç<**^ conserve, quelle que soit y, un module inférieur à une certaine limite qu'on peut assigner, pourvu seulement, ce que nous sous-entendons expressément, que la ligne [wou]^°\ en s'allongeant, ne fasse jamais autour des points 6r, fe, c, rf, que des lacets en nombre limité. Il en résulte évidem-