CHAPITRE VIII. — ORIGINE DES FONCTIONS BLLIPTIQUES

ment que, dans chacune des quantités $ — 1^^\ ç — [A„^ — 5^®^]? le rapport des éléments peut, lui-même ou son inverse arithmétique à volonté, être rendu numériquement supérieur à une quantité positive donnée quelconque. Donc, en vertu de l'égalité (29), la même chose doit pouvoir être réalisée par l'attribution de valeurs convenables aux entiers m, rtj pour les rapports équivalents

mU'-k-nQ' mW-^nQ' mW-hnil"' mU'-hnil' '

Cela posé, on ne peut avoir :

1*» Ni n'=n"=Û'=û" = o; car alors II et û seraient nulles et l'on aurait toujours Ç = Ç^®^ ou = A„^ — ^^^\ ce que rend impossible rindétermination absolue du module de Ç, combinée avec la limitation de ceux de A„^ et Ç^®^;

2® Ni Û' et û"^o, avec n'= Arû', ff'= A:û"; car, en supposant Ç/yéo pour fixer les idées, le premier des rapports ci-dessus se

réduirait quels que fussent m, n à la quantité invariable —^y et ne

pourrait par suite lui être rendu numériquement supérieur;

3° Ni n' et ff'^o, avec Û'^A-II', Çi'=kli\ comme on s'en assure par le même raisonnement. La relation (28) a donc lieu, parce que la nullité de son premier membre entraînerait l'une ou l'autre des conséquences dont l'impossibilité vient d'être constatée.

Cette inégalité est fondamentale, car sans elle la double périodicité des fonctions E(a:) et toute leur théorie dont elle est la clef de voûte s'écrouleraient comme de vaines illusions. L'étude des propriétés de ces fonctions, approfondie plus que nous ne pouvons le faire, fournirait une autre démonstration ressemblant beaucoup par son principe à celle du même point pour la fonction exponentielle, que nous avons donnée au n® 180.