L équation

a une infinité de racines qui, toutes aussi, sont fournies par deux formules analogues à (9), (10).

En raisonnant comme ci-dessus (302, I), on trouvera que les racines de celte équation s'obtiennent en ajoutant Xq aux valeurs

que peut prendre Tintégrale (i3) sur tous les chemins imaginables tracés de Uo à Tinfini. Comme cette intégrale est de première espèce, elle a certainement une valeur finie sur quelque chemin particulier de cette nature [t^o^] (296, i**), et ses autres valeurs s^obtiendront toujours en plaçant avant ce chemin telle ou telle soudure de boucles (i4)« Effectivement l'intégrale (i3) prise jusqu'à U', valeur de u s'éloignant indéfiniment sur un chemin quelconque, a la même valeur que sur quelque pareille soudure suivie d'une partie du chemin [mo^o] dont Textrémité U*' s'y éloigne indéfiniment, suivie enfin d'une ligne [U"U'] dont tous les points sont comme U', U", infiniment éloignés de l'origine. Or la portion de l'intégrale afférente à celte ligne est infiniment petite; car la substitution w = ^"*, d'où du= — t~^dt^ la change en

— /['*?(^"*)] ^^^J ^^ '® nouveau chemin d'intégration finit par élre tracé dans une aire où la fonction à intégrer est olotrope, entre des points tous deux infiniment voisins de la valeur f =o. Il en résulte, pour ces valeurs de l'intégrale, des expressions de la forme (26), et par suite, pour la représentation des racines de Téquation (3o), des formules du genre de (9), (10).

304. Des théorèmes précédents résultent immédiatement plusieurs propriétés capitales des intégrales de l'équation (2).

I. Chaque intégrale E(:r) satisfait quels que soient les entiers m, n aux deux identités

(3i) E(ir -+- mn -t- /lû) = E(3?),

(32) E(S-ar) = E(ar).

Ces relations ne sont effectivement que les formules (9), (10) écrites autrement.

La première montre que E(a;) est une fonction périodique (204), mais maintenant de deux manières, parce qu'elle admet indistinctement pour période l'une ou l'autre des quantités H, û satisfaisant à la condition (28). Nous reviendrons longuement sur cette périodicité double qui est devenue la base de la théorie des fonctions elliptiques. Comme au n** 251, nous dirons congrues ou incongrues selon les périodes II, û, deux quantités dont la différence est ou n'est pas de la forme mil + nù.