CHAPITRE VIII. — ORiaiNE DBS FONCTIONS ELLIPTIQUES

La similitude de la seconde avec les dernières relations (12), (i 5) du n°232 pour cosoret sinx nous autorise, relativement à la nouvelle fonction E(a:), à nommer supplément d'une valeur donnée de X la quantité S — x qui figure dans cette identité, et aussi à donner le nom de supplémentaire à la constante S servant ainsi à former les suppléments.

A. cause de l'identité (3i), cette seconde subsiste encore si l'on remplace S par une quantité congrue quelconque. La fonction E(x) possède donc une infinité de constantes supplémentaires; mais toutes sont évidemment congrues deux à deux,

II. Si E(:r) désigne une intégrale particulière de Inéquation (2), choisie à volonté y et F une constante arbitraire ^ chacune des expressions

(33) E(r-l-rF), E(r — ar)

renferme toutes les autres intégrales.

En appelant E| {x) quelque autre intégrale, les racines x et Xi des équations finies

Et(a7)=w, E(a?i)=M

satisfont aux équations dififérentielles

dx I dxi î

du Jtr, i j. \ du

ce que nous avons vu au n° 302, 1. Selon donc que pour une même valeur de u les radicaux devront avoir des valeurs égales ou opposées, on aura

dx\ , dx

du du

c'est-à-dire

d'où, en intégrant,

puis

Ei(a:) = M = E(a7,) =

d{xx^^x) du ""^'

a?! = r db ar,

soit E(r-+-a7),

soit E(r — ar).

Ainsi E| (^) est contenue dans Tune ou dans l'autre des expressions (33) et même dans l'une aussi bien que dans l'autre, parce

330 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS D'uNE SEDLK VARIABLE.

qu'elles renferment toutes deux les mêmes fonctions de x exactement, à cause de Tidenlité (32) qui donne à volonté

E(r— ar)= E(S— r-l-ar)= E(ri-+-a:), E(r-h.T) = E(S — r — x)= E(r, — ar).

Inversement, il est évident que toute fonction renfermée dans les expressions (33) est, comme E(a:), indéfiniment méromorphe, et qu'elle satisfait à l'équation (a).

Deux intégrales correspondant à deux valeurs F', F', attribuées à r dans l'une de ces expressions, sont différentes ou identiques selon que la différence F' — F' n'est pas ou est de la forme mll + nû.

III. Les intégrales de V équation (2) admettent toutes les mêmes périodes, mais non la même constante supplémentaire.

Soient E(a:) et E|(^)= E(F-f- j?) (II) deux de ces intégrales. n et û les périodes de la première et S, S| les constantes supplémentaires de l'une et de l'autre. On a évidemment

E,(a?-i- /n[ÏH- /ii2)= E(r-+-a:-h/nn -f-/iû)= E(r H-a?) = E,(ar),

en vertu de quoi les périodes II, ù appartiennent aussi à Ei(îc). Mais on a aussi

Ei(S, — a:)=E,(a7) = E(r-f-ar) =E(S — F — a?)

= E(r H- S — aF — ar) = Ei(S — aF — a:),

d'où

Si = S — 2r -h mil -4- nû.

Pour que S< = S, à des multiples entiers de périodes près, il faut que 2 F soit une somme exacte de pareils multiples et par suite que F soit congrue à l'une des quantités

Les conclusions du présent alinéa s'accordent avec les remarques du n® 302, II, IV, sur la manière dont varient les intégrales (18) el leurs différences deux à deux, quand leur limite inférieure commune Uq change de valeur, et nous aurions pu les en déduire.

IV. Si U n^est pas égal à quelqu^un des quatre zéros (34) a, bj c, d