CHAPITRE VIII. — ORiaiNB DES FONCTIONS ELLIPTIQUES

de <p(m), les racines de l'équation (8) sont simples; sinon elles sont doubles et congrues aux quatre quantités

S S n S û S n -hû

respectivement, si toute/ois S, D, Q ont été choisies conformément aux égalités (24), (27).

Si ç(tt) ne s'évanouit pas pour m = U, E'(ar) = y/cp(M) en vertu de l'équation difTérenlielIe, (2) ne s'évanouit pas non plus pour les valeurs correspondantes de x^ qui toutes sont ainsi racines simples de l'équation (8).

Si ç(m) s'évanouit, ce qui exige U = a, 6, c, rf, ¥J{x) s'évanouit aussi, et toute valeur de x correspondant à U est racine multiple. Mais, comme l'équation dififérentielle donne

et que ?'(U) n'est pas nulle parce que ^{u) n'a que des zéros simples, W{x) ne peut s'évanouir, et la valeur considérée de x est racine double.

A cause des quatre relations (17) et analogues, les valeurs de l'intégrale (i 3) pour U = a, 6, c, rfsont congrues à ce que deviennent les quantités (22) quand on y substitue successivement à I les moitiés des quatre intégrales définies (18), c'est-à-dire à ces moitiés elles-mêmes, comme on le constatera facilement. Pour les mêmes valeurs de U, les racines de l'équation (8) qui sont de la forme (12) se réduisent donc bien de même aux quantités (35), ce que l'on aperçoit sans peine en ayant égard à la formule (27) et aux trois dernières égalités (26).

Nous appellerons valeurs cardinales de E(j?) ces quantités remarquables (34) dont la substitution à U rend ainsi doubles toutes les racines de l'équation (8), et aussi, relativement à cette fonction, valeurs cardinales de x, les racines mêmes de cette équation, congrues aux quantités (35), comme on vient de le voir.

Pour U = o, les racines de celte même équation sont les zéros de E(;r).