V. Les racines de l'équation (3o) sont les infinis de E(j

Chacun d^eux est simple, et tous sont congrus à deux d^ entre eux incongrus.

Un infini a, de degré jjl pour E(a:), est de degré jx -f- i pour E'(:r) (36), par suite de degré 2([xH-i) pour [E'(a:)]*; d'autre part, il est de degré 4 p- pour <p[E( j;)], polynôme de degré effectif 4 en E(j?). L^équation différentielle (2) donnant [E'(x)]^ = ç[E(a;)], on a donc 2 ( |jl -h i ) = 4 , d'où [x = i .

On arrive à la même conclusion, en observant qu'en vertu de la formule (6) et de l'équation différentielle auxiliaire (7), a, infini

de w, est zéro simple de 1^"= -•

La quantité ^ = S — a est un second infini de E(j;) à cause de l'identité (32), et tous les autres sont congrus à a ou à ^ (303). Mais on ne peut avoir ^ — a = /wn-[-wû, car cela donnerait

S — aa = mn-h /lû,

d'où a = quelque valeur cardinale de x (IV), ce qui est impossible puisque les valeurs cardinales correspondantes (34) de E(x) ne sont pas infinies.

VI. Si, pour une Intégrale donnée E< {x) = E(x H- F) de l'équation (2), la constante supplémentaire Si est nulle (ou congrue à 0), la relation E, (S| — x) = E(:r) prend la forme E| ( — x) = E| {x), propre à cos:r (232), et en vertu de laquelle E| (x) est une fonction paire de x. On a S| = S — 2 F (III) ; pour qu'il en soit ainsi, il faut donc que la différence S — 2 F soit congrue à o, par suite que F soit congrue à quelque valeur cardinale de x.

Parmi les intégrales de l'équation (2) figurent toujours ainsi 4 fonctions paires, et pas davantage. Pour ^ = o, elles se rcduisen t respectivement aux quatre valeurs cardinales de E(a;) (IV).

303. Terminons ce paragraphe par une étude rapide de l'intégrale (i) dans le cas où le radical porterait sur un polynôme ^(m) du troisième degré seulement, mais toujours sans zéro multiple.

D'après le n° 223, l'intégration de l'équation

(36) £ = v/ij'(ii-»Ku-li)(u-c)

CHAPITRK YIII. — ORIGINE DES PONCTIONS ELLIPTIQUES. 333

se ramène à celle de Téquation (2) par une simple substitution rationnelle du premier degré.

En appelant ^, d deux constantes 7^0, dont la première n'est égale à aucun des zéros «, 6, c de ^(u), et posant

, o N ^"-"^ (^ . de-

G n'est pas nul, les quatre quantités a, 6, c, ^ sont deux à deux inégales, et la substitution

amène Téqualion (36) à la forme (2) précédemment étudiée. Son intégrale E.(j;) est donc fournie par la formule

Il résulte de là que E^(a:) est, comme E{x)y indéfiniment méromorphe, et qu'elle jouit de toutes les propriétés générales reconnues à cette fonction dans les deux numéros précédents. Celles qui font l'objet des alinéas IV et V du dernier se modifient toutefois comme il suit.

I. Les infinis de E^(^) sont doubles et tous congrus à l'un quelconque d'entre eux. Ce sont effectivement les zéros du dénominateur E(j:) — dj qui sont tous doubles pour lui et congrus à

parce que d est une valeur cardinale de E(^) (304, IV).

II. Si a est un infini de E.(j;), la constante supplémentaire de cette fonction est congrue à 2 a.

En outre, l'équation

acquiert, pour t) = a, 6, c, des racines doubles congrues à

La constante supplémentaire de E^(j:) coïncide évidemment avec celle de E(j?), pour laquelle on peut prendre la quantité S

définie par la formule (27). Comme on a Ef — | -^ — ) — ^

(304, IV), E,(x) est infinie pour ar = 7 H ; — 9 d'où

s = aa-4-mn -+-nC.

D'autre part, pour qu'une valeur de x annule E^(:r), il faut et il suffit, en vertu de la relation (38), qu'elle annule E'(x), dès lors (/oc. cit,) qu'elle soit l'une des trois premières valeurs cardinales (35), puisque la dernière rend infinie E^(x) et par suite E^:r).

Comme les valeurs correspondantes de E(:r) sont a, 6, c, celles de E,(:r) sont «, 6, c, à cause de la même relation (38) combinée avec les formules (37).

On retrouverait facilement toutes ces propriétés de la fonction E^(^), en étudiant directement l'équation (36) par la méthode suivie ci-dessus pour l'équation (2).

III. En résumé, et nonobstant la dissemblance e:itérieure des équations différentielles génératrices, les fonctions E(:r), E.(x) ne différent les unes des autres qu'en ce seul point : les quatre valeurs cardinales de x (35) rendent toutes E(a;) finie, tandis que l'une d'elles rend E^(a:) infinie. En d'autres termes, E(x) a ses quatre valeurs cardinales finies, tandis que E,(a:) en a trois finies et une infinie, particularité que notre notation rappelle.