SUITE DU PRÉCÉDENT. — PONCTIONS BI PÉRIODIQUES EN GÉNÉRAL

Considérations arithmétiques.

306. Nous dirons qu'une fonction f{x) d'une seule variable est bipériodique, au couple de périodes II, û, de moment non nul (2o7), quand elle satisfait à l'identité

f{x-\- mU -h nQ,)—f{x),

quels que soient les entiers positifs ou négatifs m, n.

En supposant, comme nous le ferons toujours, que f{x) est indéfiniment méromorphe et ne dégénère pas en une constante, cette fonction jouit, relativement à chacune de ses périodes, considérée isolément^ des propriétés générales des fonctions unipériodiques mentionnées aux n"* 2oi et suiv.

307. Comme nous l'avons constaté (304), (30o), les fonctions E(:r), E^(ar) sont toutes bipériodiques; il en est de même pour les fonctions composées rationnelles, finies ou différentielles, de pareilles fonctions quand elles sont douées des mêmes périodes (255).

Inversement, on démontre qu'une fonction méromorphe bipériodique s'exprime toujours algébriquement au moyen tant de E(:r) que de E^(^), si toutefois ces fonctions ont les mêmes périodes (381, inf.). Il y a ainsi identité, au fond, entre la théorie des fonctions E(^), E^(a:), et celles des fonctions bipériodiques méromorphes de toutes origines. Mais la double périodicité de ces fonctions une fois établie, on facilite beaucoup leur étude ultérieure en délaissant souvent l'équation différentielle génératrice, pour adopter cette nouvelle propriété comme base principale du rai-

sonnement. La théorie des fonctions E(jr), E.(a?) {comprenant celles de leurs composées algébriques) prend ainsi les allures d'une théorie générale des fonctions bipériodiques, considérées indépendamment de leur provenance. Dans bien des questions d'ailleurs, les fonctions bipériodiques s'introduisent autrement que par la composition de E(j:), E^(:r) avec des composantes algébriques.

308. Relativement à ses deux périodes II, û, considérées ensemble, une fonction bipériodique jouit de propriétés générales caractéristiques dans le détail desquelles nous allons entrer.

On a d'abord cette proposition :

La valeur particulière a = a' -^^ ia" de x ayant été choisie arbitrairement, toute valeur x'-\- ix^ de cette variable est congrue (304, I) à quelque autre de la forme

(i) a-+-/>Il-f-yû,

où p^ q sont des quantités réelles convenables tombant l'une et Vautre entre o et i.

Le système d'équations linéaires simultanées

n'P-+-û'Q=x' — a', Il'P-hii'Q =:f'— a'

est possible et déterminé, parce que le déterminant des coedicienis des inconnues P, Q, moment de II, û, est essentiellement supposé 7^ o ; et, si /n, /n + I et /i, /i -I- 1 sont les paires d'entiers consécutifs entre lesquels tombent P, Q,onaP = /wH-/?, Q = /i-t-5', p, q tombant entre o et i . Ces équations donnent donc bien

X = a-^pU -+- qQ -\- {mU -^ nQ).

309. Tous les points dont les affixes sont de la forme (i) tombent évidemment à l'intérieur du parallélogramme constituant l'espace commun à deux bandes dont les bords de l'une passent

par les points

a, a-hU

et sont parallèles à Û, dont les bords de l'autre passent par