CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRI0DIQUE8 EN OÉNÉRAL
L'égalité (4) montre que l'aire de la maille composée est le produit de celle de la maille primitive par le déterminant (5) des multiplicateurs, qui est entier comme eux.
On pourrait prouver que la maille composée est sécable en fragments polygonaux (en nombre limité) dont un autre assemblage reproduit une aire résultant de la juxtaposition de ± V mailles primitives.
311. Entre deux réseaux dont Pun est ainsi composé de Tautre, il existe une relation de la plus haute importance; mais nous ne pouvons l'établir avant d'avoir démontré un théorème d'Arithmétique, se rattachant à une généralisation fort étendue de la division élémentaire des nombres entiers.
La théorie d'un système de formes linéaires exige la considération continuelle de l'ensemble de leurs coefficients, abstraction faite des variables. En écrivant sur une même ligne ceux d'une même forme, et sur une môme colonne ceux d'une même variable dans toutes, on obtient un tableau décomposable en Jiles tant horizontales que verticales, pour lequel j'ai proposé le nom A^ abaque du système de formes (*). La largeur d'un abaque est le nombre de ses colonnes, c'est-à-dire des variables dont les formes sont fonctions; sa hauteur est le nombre de ses lignes ou bien celui des formes composant le système.
Soient maintenant un abaque carré de hauteur 2
ayant pour éléments des nombres entiers (positifs ou négatifs), de déterminant D^o; soient encore
et
{7 bis) p, q
une colonne et une ligne contenant chacune deux éléments entiers.
( * ) Exposition nouvelle de la théorie des formes linéaires et des déterminants. Paris, Gaathier-Villars et (ils; 1884.
Pour exprimer que les deux relations
\ ki = aip'^biq,
I kt=afp-hbiq
existent entre tous ces nombres, nous dirons que la colonne (7) est divisible par Tabaque (6) et que la ligne (7 6^) est le quotient de cette sorte de division.
Quand on a zh D = i , cette division est toujours possible, parce que les équations linéaires (8) sont, quels que soient leurs premiers membres, toujours résolubles par rapport à />,çr en nombres entiers.
Appelant encore différence des deux colonnes entières
la colonne
Ui"
nous dirons que ces colonnes sont congrues ou incongrues suivant r abaque (6) pris pour diviseur, selon que leur différence esi ou n^est pas divisible par cet abaque.
Cela posé, voici l'énoncé du théorème en question :
Suivant le diviseur (6) de déterminant D, on peut assigner ± D colonnes entières incongrues deux à deux, mais à Vune ou à Vautre desquelles toute colonne imaginable est congrue; plus brièvement, il y a db D restes incongrus et pas davantage.
