X:, = AiP4-B,Q, A-, = A,P-i-B,Q

OÙ Ton a posé, pour abréger,

ai%i-hbiai= A,, ai?i-i-^i?î= B,,

et il est évident : i** que les divisions de la colonne (7) par les abaques (6) et

sont en même temps possibles ou impossibles, que par suite deux mêmes colonnes données sont simultanément soit congrues, soit incongrues, suivant Tun et l'autre; 2" que le déterminant de (i3), produit de celui de (6) par le premier membre de (12), se réduit à D. Comme, d'autre part, on a A| = i à cause de (i i), on rentre dans Tun des cas précédents (I), (11), et les colonnes (10) sont encore celles dont il s'agissait de prouver l'existence.

IV. Si enfin le plus grand commun diviseur rf de flr,, 6, est quelconque, appelons '<7i, '64, 'D les quotients ^j -jy -j*

Pour que la colonne (■;) soit divisible par (6), il faut évidemment et il suffit que 'kt = -j soit un entier, et que

soit divisible par

br'

abaque de déterminant 'D, dans la première ligne duquel les éléments sont premiers entre eux. De là et de l'alinéa précédent, on conclut aisément que, suivant (6), les ± d'D= dz D colonnes

\ o II I 2 ( d — 1

10 (I (a ( rf-i

|ifc'D-i' i+'D-i' |±'D-r • ' (zh'D — i