CHAPITRE IX. — FONCTIONS BirÉRIODIQUES EN OÉNÉRAL

sont deux à deux incongrues, mais que leur ensemble en contient toujours une congrue à toute autre colonne donnée.

312. Il y a précisément ± V nœuds du réseau construit sur les périodes simples II, û, qui tombent dans chaque maille du réseau construit sur les périodes composées VL^ , û| du n° 310.

Suivant Tabaque-diviseur

de déterminant V, soient

(=tV)

les ± V restes incongrus (311), et appelons encore x^ un nœud quelconque du réseau simple. Deux quelconques des ±: V nœuds de ce réseau

(i6) xo-h m'n -+- /l'û, x^->r m'U->rn'Q^ ...

sont incongrus selon le couple des périodes composées II4, û| ; car si les deux premiers, par exemple, étaient congrus, on aurait

(m'— m')n -4-(n'— n';û =/?iIIi-i- çTiÛi,

/?!, qi désignant deux entiers. En substituant à II|, Ûf les seconds membres des égalités (3), il viendrait ainsi

(17) [m'— m'— (a/>i-hY^i)]n-H[/i'-/i'— (p/?i+85',)]û=o,

d'où (257)

^Px-^^q\ = n'' — n',

apx H- Y^j = m'— m'

parce que, dans l'égalité linéaire et homogène (17) entre II, Û, ces quantités ont un moment JTL yé. o, et sont multipliées par des coefficients réels. Les deux premières colonnes (i5) seraient donc congrues suivant Tabaque (i4)ï ce qui est contraire à Thypothèse. Mais tout nœud Xo + MlI-f-NQ du réseau simple est congru suivant le couple composé (II,, û,), au nœud Xq-\- m^'^II -4- /i^'^û

du groupe (10) qui correspond a une colonne J congrue a J

suivant Tabaque (i4)) ^^ s'en assure par le même raisonnement.

344 DEUXIÈMR TARTIE. — PONCTIONS D*UNE SF.ULE VARIABLE.

Enfin tout point congru selon le couple composé (n^ ^i) à un nœud du réseau simple est encore un nœud de ce même réseau.

En appelant donc ^i, ^2» • • m ^±^ ^^^ points qui, dans une même maille donnée du réseau composé, sont respectivemenl congrus aux points (16) selon le couple composé (II|, Û|) (308), les points Xi, ^3, . . ., x^ sont aussi des nœuds du réseau simple, tous diiTérents les uns des autres puisqu'ils sont incongrus selon ([II, û|), et tout nœuddu réseau simple étant congru à quelqu'un d'entre eux selon (IIi, û|) coïncide avec lui ou sinon tombe à l'extérieur de la maille considérée.

313. Pour que le couple (II, Û) soit lui-même composé de (IIi, û|), il est nécessaire que V se réduise à±i\ car le moment du second couple, qui est toujours un multiple de celui du premier, doit alors en êlre à la fois un sous-multiple, ce qui exige Oit, == ±: OIV, d'où V = zt I à cause de la relation (4). Cette condition est d^ ailleurs suffisante, parce que les égalités (3) donnent inversement

II — SB ni-+ -=- ^ii

où les multiplicateurs de IIi, O'i sont nécessairement entiers, ù cause de V = ±: I.

Deux couples analogues à (II, û), (II,, Q,), dont chacun est composé de l'autre, sont dits équivalents; les mailles des réseaux correspondants ont des aires égales, bien qu'en général elles ne soient pas superposables; une maille de l'un contient un seul nœud de Tautre (312), et les deux réseaux ont les mêmes nœuds s'ils en ont un seul commun.

Un couple donné (II, Q) a une infinité de couples équivalents qui sont évidemment fournis par les formules (3), si l'on y prend pour a, p, y, 0 tous les systèmes de solutions entières de l'équation indéterminée

ao — Py = =^ * •

Parmi ces couples équivalents, on remarquera (II, — û), ( — II, û),