IV. Soient maintenant

des quantités quelconques congrues à toutes les racines simples ou multiples, mais inégales, que l'équation numérique

possède dans une maille donnée, et

(5) J7|, Xij . . . , T^

toutes les racines de l'équation (i), auxquelles conduit un cheminement commencé en Uq avec les valeurs initiales (4)* Cette opération qui laisse finies ces diverses racines (II), peut faire varier les degrés de multiplicité de quelques-unes, ainsi que le nombre de celles qui sont numériquement inégales^ mais, en vertu du Principe de la conservation du nombre des racines (168), elle laisse invariable la somme de leurs degrés de multiplicité.

Or les racines que l'équation (i) possède dans la maille considérée sont évidemment toutes congrues aux racines (5); de plus elles sont caractérisées par les mêmes degrés de multiplicité, à

cause de la périodicité de f{x) (252). La somme de ces degrés conserve donc la valeur constante dont nous venons de parler.

V. Comme y-, — est une fonction méromorphe aux mêmes périodes (\\xcf{x) (2oo), et qui est olotrope quandy(a:) est infinie (42), la somme, pour une maille donnée, des degrés de multiplicité de Téquation (2) est égale à sa valeur pour l'équation

(6) /fe-'^"'

V n'étant pas nulle, ou ce qui revient au même pour Téquation (i) en y prenant m = -•

VI. En comptant une racine m"P^® pour m racines simples, ce théorème s'énonce plus brièvement en ces termes : Quelles que soient u et la maille considérée {dans un même réseau)^ l'équation {\) y offre des racines en nombre invariable,