CHAPITRE IX. -^ FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN OÉNÉRAL

relatif aux périodes sur lesquelles a été construit le réseau considéré.

Il ne peut [sauf le cas oàf{x) dégénérerait en une constante^ s'abaisser au-dessous de i (320, III), ni même au-dessous de 2, comme nous le verrons bientôt (326, inf.).

322. Les ordres M, M| de /(x), relatifs aux couples de périodes (H, û), (IIi, û|), ce dernier étant composé du premier avec des multiplicateurs de déterminant V (310), sont liés par la relation

Une racine donnée de Féquation (i)et toutes celles qui lui sont congrues suivant le couple (H, û) ont des degrés de multiplicité égaux (252); elles coïncident avec les nœuds d'un certain réseau construit sur ces périodes; en outre, ± V de ces nœuds tombent précisément à l'intérieur d'une maille donnée de tout réseau construit sur II,, Û| (312).

Cette observation répétée pour toutes les racines de l'équation (i), que contient une même maille du réseau simple, met en évidence l'exactitude de notre théorème.

En particulier, les ordres de f{x) relatifs à tous ses couples de périodes élémentaires (314) ont une même valeur (317), qui est minimum, et qu'il y a tout spécialement à considérer; on la nomme Y ordre proprement dit ou absolu de cette fonction.

323. Les fonctions E(a:), E. (j?) étudiées aux n^^ 302 et suivants, sont du second ordre.

Car leurs périodes II, û sont élémentaires (314), et, d'après les n"* 304, V et 305, I, chaque maille du réseau construit sur elles contient deux infinis simples pour les premières, un infini double pour les dernières.

Elles sont les fonctions bipériodiques les plus simples, parce qu'il n'en existe aucune qui soit du premier ordre (326, inf,).

324. Non seulement (320), la somme des degrés de multiplicité des racines variables (5) de V équation (1) conserve, quelle que soit a, une valeur constante, mais encore la somme

(7) I(w) = Wl|iFi-4- /Tlja^j H-, , .-h /n^a?^

M. — II. a3

354 DEUXIEME PARTIE. — PONCTIONS D'UNB SEULE VARIABLE.

des produits de leurs valeurs par celles de leurs degrés de multiplicité /W|, . . . , trig (variables aussi quelquefois), est une fonction de u qui se réduit identiquement à une constante.