I. La fonction l{u) est indéfiniment olotrope

La théorie générale des fonctions implicites (307*) rend ce point évident pour chacune des racines (5) considérées individuellement, par suite pour leur fonction composée linéaire l{u); ceci du moins est vrai aussi longtemps qu'aucune de ces racines n'annule /'(x), c'est-à-dire que u n'atteint une des valeurs cardinales de fi^)^ nous voulons dire, comme aux n*** 304, IV et 30o, TI, une de celles données à cette fonction par les racines de l'équation numérique

valeurs qui, à cause de l'identité des périodes de/(j?),/'(^) (319), sont en nombre au plus égal à l'ordre de/'(:r), partant limité.

Supposons maintenant que u atteigne une semblable valeur u^^^, pour laquelle la valeur correspondante j:[^' de l'une des fonctions implicites (5) soit racine multiple de l'équation /(:r) — u^^^ = o. Pour des modules suffisamment petits de la différence u — Uq^ celles des quantités (5) dont les excès sur x^/^^ sont infiniment petits avec elle se partagent en sj'stèmes circulaires dans chacun desquels elles ont les formes

toutes avec un même degré de multiplicité pi, où 6|, ..., ^y

représentent les v séries rhizomorphes dans lesquelles se change

quelque même composante W(^), olotrope et nulle en ^ = o, parla

substitution à t des v déterminations du radical (u — u^^^y (lU). La somme des racines (8) multipliées par leur degré de multiplicité commun \k est donc

c'est-à-dire une fonction de u qui est olotrope en Uq, Effectivement, dans l'expression entre parenthèses, le coefficient du terme en

(£1 — u^o) j^ contient évidemment comme facteur la somme des