CHAPITRE DC. ^ FONCTIONS BIPBRI0DIQUE8 EN OÉNÉRAL

puissances 73**°" des v racines v'^"**" de l'unité, o par suite toutes

les fois que - n'est pas un entier (115).

L'expression (7) est donc olotrope, même pour ces valeurs critiques u^^^ de u, puisqu'elle se partage toujours ainsi en une somme d'autres analogues à (9) qui le sont toutes.

IL On peut, quelle que soit w, assigner une même limite supérieure à modl(M).

PourmodM^R, quantité positive donnée quelconque, la chose est évidente puisque I(w), olotrope dans tout le plan (I), l'est en particulier dans un cercle de rayon R ajant l'origine pour centre

Pour mod a > R, on a mod ^ = ]7> si l'on prend (> = - .

Comme -ft—^ est aussi méromorphe et bipériodique, on peut de

même assigner, pour modi^^-^' ^^^ même limite supérieure au module de J(^), somme analogue à I(w) pour Téquation (6). Mais si l'on prend w=-, on a modw>R, et I(w) = J(i')

évidemment, pourvu, bien entendu, qu'en résolvant l'équation (6) on ait pris les quantités (4) pour valeurs initiales de x correspondant à r= ^0= — 7 parce que cette équation peut s'écrire aussi

bien/(^) = o.

Si donc on nomme L', U des limites supérieures, l'une de

modI(i/) pour modi/^R, l'autre de modJ(ç^) pour mod^^-rr»

et L une quantité supérieure à ces deux-ci, on aura modI({/) < L, aussi bien pour mod e/ ^ R que pour mod </ ^ R.

IIL Puisque I(a) est indéfiniment olotrope et ne peut être rendue infinie par aucune valeur de u soit finie, soit infinie, elle se réduit forcément à une constante (8).

325. Des racines quelconques de Téquation (i), choisies de manière à être incongrues deux à deux, mais congrues dans leur ensemble à toutes les autres, ne diffèrent jamais des racines (5), que par des multiples des périodes; en les leur substituant dans

l'expression I(w), on ne fait qu'augmenter celle-ci d'une somme de semblables multiples, ce qui la laisse encore indépendante de u. Une somme de pareilles racines multipliées par leurs degrés de multiplicité, quelles qu* elles soient et quelle que soit u, conserve donc toujours une valeur constante, à des multiples des périodes près.

La considération de l'équation (6) montre que cette valeur se conserve aussi pour les infinis de f{x). En particulier : dans une même maille, la somme des zéros de f{x) multipliés par leurs degrés de multiplicité est toujours congrue à la même somme pour ses infinis.

Ces diverses propositions comprennent, comme cas particuliers^ les propriétés de la constante supplémentaire S des fonctions du second ordre E(j?), E. (j;) (304), (30o).

326. // n^ existe aucune fonction méromorphe, bipériodique^ et ne dégénérant pas en une constante, qui soit du premier ordre seulement.

Car pour une pareille fonction le groupe (5) des racines de l'équation (i) ne contiendrait qu'un terme, et celui-ci serait essentiellement variable. L'expression !(«) ne pourrait donc pas conserver une valeur constante (324).

327. Pour établir qu^une fonction donnée d'une seule variable se réduit à une constante, il suffit donc de prouver qiCelle est indéfiniment méromorphe, bipériodique, et que son -irdre est o (320) ou i (326), de prouver, par exemple, que dans quelque maille d'un réseau, elle ne peut pas avoir plus d'un zéro (simple) ou d'un infini (simple).

328. Dans chaque maille de tout réseau, le résidu intégral d'une fonction bipériodique méromorphe se réduit à o (o6).

Ce résidu multiplié par 2'ïie reproduit effectivement l'intégrale ff{x)dx prise en parcourant une fois dans le sens de rotation direct le périmètre du parallélogramme qui constitue la maille considérée (189). Comme f{x) est identique à elle-même aux points congrus de deux côtés opposés de ce parallélogramme, et

CUAPITRB IX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES EN OÉNÉRAL. 357

que ces côtés sont nécessairement parcourus dans des directions inversement parallèles, il est visible que les parties de l'intégrale aiTérentes à deux côtés opposés sont égales, mais de signes contraires; l'intégrale est donc nulle, ainsi que le résidu {Cf. 267).

329. Le raisonnement qui précède ne laisse rien à désirer en solidité, en élégance et en brièveté; il a néanmoins le grave défaut de laisser absolument isolé de la théorie générale le fait important dont il s'agit. Mais la démonstration suivante, dont nous indiquerons seulement le principe, le rattache étroitement aux autres propriétés des fonctions bipériodiques.

Si a est un infini [x'^p*® de /(^), on a dans son voisinage

(p(j7) étant olotrope et non nulle en x = a, et le résidu correspon-

L'inverse arithmétique de y(^) y est olotrope avec a pour zéro [jl"p**; on en conclut facilement (141 et suiif,) que l'équation

f(x) cp(ar)

résolue par rapport à x a, pour v infiniment petite, p. racines infiniment voisines de a et de la forme

(lo) X = CL-k- a\V^-\- aiv)^-\-.. .j

ce qui, en posant v = ^l*, donne

a? = a -f- «1 f -h ûfj i' -h . . . , puis l'identité

çp(a -4- ai^-H aj/*-*-. . .) = (ai-f- aj^ -i- a3<»-f-. . .)!*.

On en conclut d'abord ç(a) = a^^ d'où a\ yé. o, quel que soit (x ; on en conclut ensuite, pour |x= i, 2, 3, ... successivement,

ïp(a) = xai, (p'(a) = i.2at, ç'(â)= i.2.3as, ...,

c'est-à-dire

£ = iai, 2ai, 3^3, ...,

et ai, ^2,^3, • • . ne sont pas autre chose que les coefficients de f^ dans la série (lo) construite pour |x = i, 2, 3, ....

Le résidu intégral se trouve être ainsi le coefficient de p dans le développement, par la formule de Maclaurin, de Texpression J(i^) du n° 324, II. Il se réduit donc à zéro, comme les coefficients de toutes les autres puissances de i^, puisque J(p)= I(i/) n'est qu'une simple constante.

Relations diverses entre des fonetions bipériodiques ayant en commun un même couple de périodes.

330. Voici d'abord une extension de l'observation générale du n» 255.

Si les coefficients de l'équation entière en U,

sont des fonctions toutes bipériodiques {indéfiniment niéromorphes)^ admettant un même couple de périodes (U, Û), et si cette équation offre quelques racines, fonctions indéfiniment méromorphes de .r, chacune de celles-ci admet un couple de périodes communes à toutes les fonctions f\ (a:), . . '^fm{^)»

Comme le changement de :r en :r + Il n'altère aucun des coefficients de l'équation (i), les racines méromorphes de celle-ci se permutent simplement entre elles, et, par suite, se partagent en certains groupes, dans chacun desquels le changement considéré opère une simple permutation circulaire.

Supposons donc que l'addition de II à ^ change ainsi les p

racines

Fi(rF), F,(a?), ..., Fp(a?).

en

F,(ar), F3(ar), ..., F,(a?),

respectivement. Les identités

F,(a?-4-n) = F,(a:), F,(a?-4-n) = Fj(a?), ..., Fp(a?-+-n) = Fi(ap)

entraînent celle-ci

F,(ar-4-/>n) = Fi(ar),

en vertu de laquelle toute racine F|(x) appartenant au groupe

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considéré admet pU poar période; et Ton prouvera de même, que F4(^) admet une autre période de la forme qQ, où q est un entier. Or, />II et qù sont des périodes de moment 7^0, qui sont communes aussi à tous les coefficients de l'équation (i).

331. Réciproquement, si les fonctions indéfiniment méromorphesf{x)^ ^{x) ont un couple de périodes communes (II, û), relativement auquel elles sont d^ ordres m, M (321), elles sont liées l'une à Vautre par une équation entière et irréductible de

degrés M|= ^> m^= -^9 oh d désigne un diviseur commun

des nombres m, M, qui sera précisé tout à V heure,

I. L'ordre de/{x) étant m, elf'{x)y dérivée par rapport à a: du premier membre de l'équation

ne pouvant, parce qu'elle n'est pas identiquement nulle, s'évanouir pour toutes les valeurs de x, u qui vérifient numériquement cette équation, la résolution de cette dernière par rapport à x fournit certainement (147), (320), (321) m fonctions implicites de {/, savoir

dont deux quelconques ne peuvent être, quelle que soit e/, égales ou congrues selon II, û, puis, outre ces racines, une infinité d'autres dont chacune au contraire est, quelle que soit 2/, congrue à quelqu'une d'entre elles. Et, à cause de la communauté de ces périodes, la substitution de toutes ces racines dans F(^) donne d'abord les fonctions de u

(4) F(ari), F(a:,), --.i F(^/n),

puis une infinité d'autres dont chacune est identiquement égale à quelqu'une de celles-ci.

Cela posé, les ordres m, M ont un diviseur commun dÇt i)

tel, que les fonctions simples (3) ^e partagent en /ni = -^

groupes de d chacun^ jouissant de cette propriété que deux des fonctions composées (4) sont identiquement égales entre elles

OU inégales, selon qu'elles correspondent à deux des fonctions (3) appartenant ou non à un même groupe. De plus, d divise M, et M racines analogues X de V équation

M se partagent en M, = -^ groupes de d chacune, jouissant des

mêmes propriétés relativement à/(x).

1^ De uà u^on peut faire décrire à cette variable un chemin fermé tel, que Vune des fonctions (3), Xi choisie à volonté, soit changée par ce parcours en une autre Xj également arbitraire.

Si, pour la valeur initiale (et finale) de u considérée, toutes les fonctions (3) sont numériquement inégales, on obtiendra évidemment un pareil chemin en faisant marcher x de Xi à Xj sur une ligne quelconque, puis en prenant la ligne que décrit simultanément u=f(x). Cette dernière ne peut manquer d'être fermée, puisque f{xj)=f{xi){= u).

Sinon, et cela parce que les fonctions (3) ne peuvent être identiquement égales, on prendra pour u une valeur u^ assez voisine de sa valeur initiale pour qu'on puisse aller et revenir directement de w à w' (163 et aliàs), rendant numériquement inégales en outre les quantités correspondantes x\<i ..., x'„/, on tracera de i/' à u' un chemin fermé [m'] changeant x^ en Xj (i°), et, pour le chemin fermé cherché, on pourra prendre évidemment celui que forment: le segment rectiligne [uu'], le chemin [u'] et le même segment [a' «] parcouru à rebours.

2^ Admettons maintenant que d des fonctions composées (4)i les d premières pour fixer les idées, soient égales identiquement entre elles, mais non à quelqu'une des m — d autres (en supposant d <C m); faisons décrire à e/ un cheminfermé changeant Xi en Xd^ij et nommons Xd+2^ «^^rf+s, •••, x^a les fonctions de la suite (3) qui sont congrues, suivant les périodes considérées, à celles dans lesquelles se changent en même temps X2', x^y • • • j ^d- Les identités

(6) F(ar,)=F(ar,) = ...= F(arrf)

donneront évidemment aussi

F(rrrf4.i) = F(ar,/+0 = ...= F(ar,rf) (252*),