CHAPITRE IX. — PONCTIONS BIPÉRIODIQDBS EN GÉNÉRAL

après quoi, si ^d est <! m, on trouvera de la même manière un troisième groupe de d des fonctions simples (3) dont la substitution dans F{x) identifiera les d fonctions composées correspondantes, entre elles mais non aux précédentes; et ainsi de suite,

jusqu'à épuisement de m. Il faut donc que mi = -^ soit un entier.

3® Maintenant, la résolution de l'équation (5) fournira semblablement M fonctions de U incongrues entre elles

(/) X-i, Xj, ..., Xji,

qui, en appelant D quelque diviseur de M, se partageront en

M| = -^ groupes jouissant de propriétés analogues relativement

k/ix).

Or, on ne peut avoir D <Zd; car, à cause des identités (6), la substitution U = F(ari), faite dans les fonctions implicites (7), rend certainement d d'entre elles, les premières par exemple, congrues k œ^y X2f . . ., 2:^ respectivement, et donnent par suite

/(X0 = /(XO = ... = /(Xrf) [=/(a:^) = ,,. = /ix^)=u],

On a donc D = rf, car, en renversant le raisonnement, on prouve de la même manière qu'on ne peut avoir rf< D.

[On peut observer le fait en question sur deux fonctions des genres E(:r), E,(:r), ayant les mêmes périodes élémentaires. Ici l'on a m = M = 2 (323), et la suite (3) se réduit à a?,, S — j:,, où, S est la constante supplémentaire de la première fonction. Si cette constante est égale (ou congrue) à celle de la seconde, on a, quelle que soit w, F(a;, ) = F(S — ari ), d'où rf = 2, mi = M| = i . Sinon, d= i, m< = M|== 2].