II. Si

est le dés^eloppement d'une fonction de iJ, méromorphe en 0 = o, e/ si

représentent les v déterminations du radical t^, toute fonction symétrique rationnelle des y fonctions composées

362 DBUXI&MB PARTIE. — FONCTIONS D'ONB SEULE VARIABLE.

est une fonction de t, qui est méromorphe {ou olotrope) en t = o.

Quand la fonction symétrique considérée se réduit à la somme des valeurs dissemblables que les i • 2. . . v permutations des fonctions (8) donnent à un même monôme les contenant sous des exposants entiers, un raisonnement calqué sur celui du n° 142, II montre que, dans son développement, le coefficient de toul terme où t est affecté d'un exposant non entier se réduit à zéro.

Notre lemme est encore vrai quand cette fonction symétrique est entière, mais de nature quelconque, parce qu'elle est toujours réductible à une expression linéaire par rapport à des sommes de cette espèce.

Il est donc général; car une fonction symétrique rationnelle peut toujours être mise sous forme d'un quotient de deux fonctions symétriques entières, et le quotient de deux fonctions méromorphes est aussi méromorphe.