CHAPITRE II. — FONCTIONS HEROHORPHES
Le rapport (i) n^étant pas autre chose que la racine u deTëquation
les fonctions méromorphes font partie de la grande classe des fonctions implicites qui sont définies par des équations ayant des premiers membres oiotropes et dont nous aborderons bientôt l'étude. Mais, comme celte équation est linéaire, elles offrent cette particularité caractéristique d'être définies sans ambiguïté, par suite d'être monodromes, partout où les fonctions F, <j) le sont ellesmêmes.
Nous passons au cas d'une seule variable, le seul dont nous ayons à nous occuper.
31. Si la /onction de la seule variable x^ est méromorphe dans une aire limitée S, on peut poser
OU
(3) ai, cfj, ..., agy
sont des constantes inégales en nombres limités, où
(5) /W|, /Wï, ..., nig,
sont des entiers positifs, où enfin f(^) est une fonction qui est olotrope dans Vaire S et ne s^y évanouit pas.
En appelant a', a", ... les zéros de F(j;) situés dans Taire S, et m', m", . . . leurs degrés de multiplicité, en appelant a', a", . . ., ;jl', [ji'', ... les mêmes objets pour cp(^), en appelant enfin Fi(a:),
cpi(^) deux fonctions de ar, ololropes el sans aucun zéro dans l'aire S, la formule du n^ 6 donne immédiatement
On en déduit la relation (2) par la suppression de tout diviseur commun aux deux termes du premier facteur du second membre;
car la fonction — ^ — • est olotrope et dépourvue de tout zéro dans
Taire S, comme rapport de fonctions jouissant toutes deux de cette double propriété.
32. La formule (2) conduit immédiatement à plusieurs conséquences qu'il importe de noter.
I. Dans l'aire S, la fonction méromorphe f{x) ne peut cesser d'hêtre olotrope qiiaux points (4). Car elle est aussi le rapport des deux fonctions olotropes
{x — ox )"»• ... (a? — aff)'ng^{x) et
{x — ai)l*i . . . {x — a^)f''T,
dont la seconde ne s'évanouit qu'aux points dont il s'agit (230*, III).
II. Les seuls zéros que f{x) possède dans l'aire S sont les quantités (3) aux degrés de multiplicité (5) respectivement.
Car le rapport ci-dessus mentionné (I) ne peut s'évanouir que pour les valeurs de x annulant son numérateur, qui se réduisent aux quantités (3) parce que f(^) n'a aucun zéro dans S.
D'ailleurs on peut écrire, par exemple,
OÙ, à cause de l'inégalité de toutes les quantités des deux suites (3), (4), le dernier facteur du second membre est olotrope et non nul en a7 = ûri, comme rapport de deux fonctions dont chacune jouit de cette double propriété (3).
