CHAPITRE H. — FONCTIONS HÉR0M0RPHE

III. Quand x tend vers Viine quelconque des valeurs critiques {^), f{x) est infinie, partant non olotrope.

Car on peut écrire aussi, par exemple,

(j?— ai;^'

où, pour les'raisoiis ci-dessus (II), la fonction

( JT — a, )'«. . . . < .r — rt^y"irf(2:)

^x — ajjK-i . . . (a? — «Y j^ï

olotrope en x = ai, y prend une valeur essentiellement différente (le zéro.

33. En conséquence, on nomme les valeurs singulières (4) de la variable unique de la fonction niéromorphe /(x) les infinis de cette fonction, et les entiers positifs (6) leurs degrés de multiplicité.

Pour exprimer ce double fait qu'une fonction est infinie en j? = a, mais niéromorphe, la plupart des auteurs disent maintenant qu'elle y a un pôle, et aussi qu'elle y est afl'ectée d'une singularité polaire.

D'après la formule (7), et en appelant [x un entier positif indéterminé, le produit {x — oli)\^/{x)^ qui est méromorphe dans l'aire S, est, en .r = a,, infini si [jl<;jjl,, olotrope et non nul si [jL = (A,, olotrope mais nul si a>> [x,. On peut donc dire aussi que le degré de multiplicité d'un infini a, est le plus petit des nombres entiers [x, jouissant de la propriété de rendre le produit en question, ou bien olotrope en x = ol^, ou bien même seulement non nul.

Quand une valeur de x ne rend, ni nulle, ni infinie, la fonction méromorphe /(x), on dit quelquefois, non seulement qu'elle est pour celte fonction un zéro de degré de multiplicité nul (3), mais encore qu'elle est un infini, de degré de multiplicité nul aussi.

34. Si f{x) représente une fonction quelconque, olotrope et sans aucun zéro dans l'aire S, le second membre de la relation (a) constitue un type général des fonctions qui sont méromorphes dans cette aire, en y possédant les zéros et infinis (3), (4), aux degrés (5), (6).

30 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS d'UNR SEULE VARIABLE.

Poiu^ qiCune expression de cette forme se réduise identiquement à une constante non nulle, il faut et il suffit que Von ait

(8) mi = /«j — . . .= m^= jjL| = |xj = . . .= (jLy = o,

et que f{x) se réduise identiquement à la constante dont il s'agit. Car si /Wi, par exemple, n^étaitpas nul, Texpression s'annulerait pour a: = ai; si ^^ ne l'était pas, elle serait infinie pour j; = a,. Les égalités (8) doivent donc être satisfaites, et comme elles réduisent l'expression considérée à f(^), il faut bien que cette dernière fonction soit identiquement égale à la constante voulue. Il est évident d'ailleurs que l'ensemble de ces diverses conditions est suffisant.

35. Pour que deux fonctions, méromorphes dans l'aire S^y soient égales identiquement, il faut et il suffit que leur décompositionpar la formule (2) donne, pour l'une et Vautre, des facteurs respectivement identiques. Il faut effectivement que leur quotient se réduise identiquement à la constante i; or, après réduction, ce quotient se présente sous la même forme

d'où (34)

m\ = ml, . . . , m'^ = m* ,

T(ar) = 'f(a;).

Par suite, la formule de décomposition (2), appliquée à une même fonction méromorphe, ne peut jamais donner que les mêmes facteurs,

36. La dérivée f\x) de la fonction f{x) du n^ 31, qui est aussi méromorphe dans l'aire S (30), admet les mêmes infinis (4), mais aux degrés de multiplicité [X| -h i , . . . , [Xy 4- i .

Une fonction et toutes ses dérivées étant toujours olotropes ou non en même temps (165*), (213*), il suffit d'étudier ce qui se passe en quelque infini ai def{x).