CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÊRIODIQUES EN GÉNÉRAL

fonction rationnelle et symétrique des "^fonctions composées de u

est méromorphe {ou olotrope) en u= ui.

Comme, d'une part (144), (320, II), les développements des

fonctions implicites (i i) s'obtiennent en substituant à la variable

d'une certaine série entière les v déterminations du radical

{u — UiY^ comme, d'autre part et par hypothèse, ^{x) est déve-

loppable en une série procédant suivant les puissances de 2; — Xi à exposants entiers croissants, les premiers éventuellement négatifs, les développements des fonctions composées (12) sont par rapport k u — ui de même forme que ceux des fonctions (8) par rapport à /, et le point en question résulte immédiatement de l'alinéa II.

0? Si deux seulement des fonctions (12) sont égales identiquement, toutes le sont aussi et se réduisent à une même fonction de u méromorphe {ou olotrope) en Ug.

Car le parcours effectué par u d'un anneau qui enveloppe le point Ui changeant x' en jc", x" en «"', . . ., «^^^ en «', l'identité, supposée

par exemple, entraîne évidemment d'où

fonction de u qui est méromorphe (ou olotrope) en w/, parce qu'elle est rationnellement et symétriquement composée des fonctions (12) (1°).

3® Si l'on a g groupes de variables indépendantes^ contenant respectivement ^i^ Va, .•., v^ de celles-ci, toute fonction rationnelle et symétrique des V| -h Vj -H . . . -h v^ variables considérées est exprimable rationnellement au moyen de certaines fonctions symétriques rationnelles des V4 variables seulement du premier groupe, de fonctions de la même nature relativement aux Va variables du second groupe, etc. Ce point est trop facile pour que nous nous arrêtions à sa démonstration.

4^ Gomme chacune des fonctions de u^

(.3) F(.v'), F^v"), ..., F(oc«v)),

se retrouve forcément dans la suite (lo), parce que cette dernière contient toutes les fonctions distinctes de u que la substitution dans F (x) des diverses racines de Téquation (2) puisse engendrer, cela à cause de l'identité des couples de périodes considérées, on

aura par exemple

Si donc deux des fonctions (i3) sont égales identiquement, F(x') est fonction méromorphe (ou olotrope) de m en m = «1(2**); sinon toutes sont inégales et v des fonctions (10) auront, méromorphes (ou olotropes) en w/, toutes leurs fonctions symétriques rationnelles (1°).

Il en résulte immédiatement que les fonctions (10) se partagent toujours en certains groupes dans chacun desquels, considéré isolément, leurs fonctions rationnelles et symétriques sont méromorphes (ou olotropes) en w = w/, par suite (3*), que la fonction P(m) jouit de la même propriété.

5** La fonction P(w) est méromorphe (ou olotrope) à Vinfini (51). Car, la fonction -tt— jouissant par rapport à F(a:) de

toutes les propriétés sur lesquelles ont été fondés les raisonnements ci-dessus, la considération de l'équation

équivalente à

montrera de même que P(-) est méromorphe (ou olotrope) en

6° Le nombre des valeurs distinctes de u qui peuvent rendre P(m) infinie est essentiellement limité. Car la fonction symétrique actuellement en vue étant entière, il faut alors que la valeur de quelqu'une des fonctions implicites (3) soit congrue à un infini de F(^), c'est-à-dire que u ait l'une ou l'autre des valeurs (non infinies) de /{x) correspondant à tous les infinis

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de F(.r). Le nombre de ces valeurs ne peut donc surpasser celui des infinis incongrus de F{x) et, à plus forte raison, Tordre M de cette fonction.

■j® La fonction P{u) se réduit donc à une fonction rationnelle de a, puisqu'elle est méromorphe partout, même à Tinfini (4**)? (5^), et que ses infinis sont en nombre limité (55).