IV. En appelant ainsi

-Pi(w), P,(a), -P,(a), ..., (-iV«.P^.(a)

les sommes des produits des fonctions (lo) prises i à i, 2 à a, 3 à 3, •••, mi à /W|, toute valeur U prise par F(^) pour une valeur de x rendant /(a;) «^gale à u est racine de Téquation entière de degré /Wj,

dont tous les coefficients sont des fonctions ratiohnelles de ;/, et que l'expulsion des dénominateurs transforme en une autre

celle-ci ayant pour premier membre un polynôme entier en U, //, de degré effectif m^ par rapport àU, et n'admettant pour diviseur aucua polynôme entier en u seulement, de degré effectif >>o.

V. V équation (i4) est irréductible, et de degré M| par rapport à u.

I** Si <p(U, tt), x(Uî u) sont deux polynômes entiers sans diviseur commun, on ne peut avoir à la fois les deux identités

car alors les équations simultanées entières en U, u,

auraient pour seules racines un nombre limité de couples de constantes, à l'un ou à l'autre desquels se réduiraient F (a:), y(x), quelle que fût x. Or, c'est impossible, puisque nous supposons essentiellement qu'aucune de ces fonctions ne dégénère en une constante.

2^ Si appelant ^i, q^i • • •tfjg d^s exposants entiers positifs, en nombre ^> i, et çpi(U, w), . . ., f^(U, u) des polynômes entiers en U, u, deux à deux sans diviseur commun, et de degrés tous >* o, on avait, quelles que fussent U, u,

*(U, u) = [^i(U, «)]-/«... [?^(U, u)]7,, la double substitution

qui annule identiquement 4>(Uy u) à cause de Péquation (14)9 annulerait identiquement aussi Tun de ces polynômes au moins, puisqu'ils sont en nombre limité, mais aucun autre avec lui (i**), et toutes les fonctions de u, racines de l'équation (i4)) satisferaient par exemple à Téquation

Or c'est impossible parce que ces racines sont toutes non identiquement égales et en nombre mi, tandis que le degré en U de cette dernière équation est <; mi, à cause de la présence effective certaine de U dans chacun des autres polynômes ^2, ....

3° Gomme il résulte d'un raisonnement tout semblable, que U, u satisfont à une équation entière irréductible contenant u au degré M|, comme d'autre part (1°) le premier membre de cette équation et ^(U, u) se divisent l'un l'autre, à un facteur constant près, ces polynômes sont identiques, et ^(U, u) est bien de degré M| par rapport à w.

332. Pour construire effectivement l'équation (i4)) on emploie des procédés variant avec les circonstances et comportant plus ou moins l'emploi de la méthode des coefficients indéterminés.

Les deux corollaires suivants sont quelquefois utiles.