CHAPITRE EX. — FONCTIONS BIPÉRIODIQUES BN aÉNÉRAL

rationnelle irréductible contenant f{x) au degré effectif M^^ on a M = M| m. Car ici mj = i .

II. L'ëquation (i4) étant irréductible, son premier membre divise forcément celui de toute équation entière pouvant exister entre les mêmes fonctions U, w(331, V, i*^). Si donc on a obtenu, par un moyen quelconque, une relation de cette nature^ ses coefficients satisferont forcément aux équations de condition exprimant la possibilité de cette division.

En particulier, ces coefficients seront tous nuls^ si l'un des degrés de cette relation est inférieur au degré correspondant de V équation (i4)-

333. En appelant m Vordre absolu (322) d'une fonction méromorphe bipériodique, et y le nombre de ses infinis numériquement distincts que contient une même maille élémentaire, cette fonction u =^f(x) satisfait à une équation différentielle du premier ordre et de la forme

où Pi, . . ., Pm-o Pm sont dcs polynômes entiers en m, le der^

nier P^ de degré effectif /w'=/wh-y, r avant-dernier P^-i

identiquement nul, et tous les autres de degrés effectifs <C /n'.

En outre, cette équation est irréductible, c'est-à-dire qu'en y

du

écrivant iH à la place de ^i son premier membre est un polynôme premier en m', m.

D'après quoi, la fonction u provient toujours de V inversion de quelque intégrale abélienne (169).