I. L ordre absolu de f {x) est m

Soient o(|, a2, . . . , ocy les infinis distincts quey(:r) possède dans sa maille élémentaire, et fx,, |X2, . . ., [x^ leurs degrés de multiplicité dont la somme reproduit m (321). Ces infinis appartiennent tous à f'{x), mais aux degrés [X| -f i , [Jia -h i , . . . , [Xy + i (36) ; et, dans la même maille qui est élémentaire aussi pour/'(:r) (319), cette fonction n'en possède aucun autre (165^). La somme m + Y = '^' d® ^®s nombres est donc l'ordre absolu de/'(j7).

II. Les foDclions u'=/'{x), m, étant méromorphes et d'ordres m'f m, relativement à leur couple commun de périodes élémentaires, sont donc liées par une équation entière irréductible

dont les degrés eiTectifs sont les quotients de m, m' par quelque diviseur commun (331).

III. Deux valeurs particulières x^y x^ de x sont congrues suivant les périodes élémentaires, si l'on a à la fois

et si les valeurs de ces dernières quantités n'annulent pas ^(1,0)^!^'^ f/) dérivée partielle par rapport à u\ du premier membre de V équation (i6).

L'équation diiTérentielle (i6) ne contenant pas x explicitement, les fonctions de f , tti =f{xi -i- r), Ua =/(x2 -H f), satisfont toutes deux à la même équation différentielle du premier ordre

(17) V(u', tt) = 0,

et respectivement, par suite, aux équations différentielles immédiates

OÙ tj'i(tt), ^2(11) sont deux racines convenables de l'équation (17) résolue par rapport à II'. Mais comme pour r = o par hypothèse, on a <«îtt', :=^°'U',, <o>Il| = «>^Ua, et que ces quantités n'annulent pas W<«»»^(w', tt), la racine dont, pour U = î<>^ll| = («JUj, la valeur initiale est <«^u', = f^^^ll^j est unique etolotrope (307*), (308*). Les composantes ^i(li)) ^2(11) sont donc identiques, de plus olotropes en tt= <<»)ll, = ^<>^U2» et les deux fonctions U,, 02 satisfont à une même équation différentielle immédiate

dont le second membre est olotrope dans ces conditions initiales. Ces mêmes fonctions, ayant pour r = o des valeurs initiales égales,