CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÉRI0DIQUE8 EN GÉNÉRAL

sont identiques (302*, III); en d'autres termes on a, quelle que

soit Xy

/(a7i4-r) = /(ar2-+-r),

moyennant quoi (2o3), la différence x^ — x^ se réduit à une certaine période de/(j:), par suite (316) à quelque somme de multiples entiers des périodes élémentaires de cette fonction.

IV. Les polynômes V, ^*^*>®^ ne pouvant avoir aucun diviseur commun, puisque le degi'é du second est inférieur à celui de l'autre et que celui-ci est premier, la résolution par rapport à u\ u du système formé par les équations entières (16) et

ne peut fournir qu'un nombre limité de couples de solutions communes. En appelant donc u^ une valeur particulière de u n'appartenant à aucun de ces couples, n'étant égale en outre à aucune des valeurs cardinales de/(x) [nous parlons comme au n" 304, IV, des valeurs en nombre ^ m', que donnent à cette fonction les zéros de /'(^)]j '^^ racines incongrues de l'équation numérique

<|ui ne peut en avoir de multiples, sont en nombre m et donnent à /'{x) m valeurs toutes inégales (III). On en conclut que pour les fonctions/(a:),/'(a;), le diviseur d du n°331, 1, se réduit à 1, d'où nii =^ /n, m\ = m.

V. Dans Inéquation (16) ordonnée par rapport à «', le coefficient de u"* se réduit à une constante {non = o). Car si un polynôme en Uj de degré effectif > o, servait de coefficient au terme de degré maximum en «/', il s'annulerait pour quelque valeur b attribuée à w, et parmi les racines de l'éqnaûon f{x)=bj il y en aurait une au moins qui rendrait /'(j?) infinie; or c'est impossible puisque f{x)^ f\^) sont toujours en même temps ololropes ou non (165*), (213*).

L'équation (16) prend donc la forme (i5) après la division de tous ses termes par ce coefficient constant de u'^^,

VI. On prouve de la même manière que le coefficient de w'"' dans l'équation (i5) ordonnée par rapport à u se réduit encore à

une constante (non = o). Il en résulte que le degré effectif de Pot(w) est = m', que ceux de P^-f, Pm-2? • • •> P« sont tous <C m\

VII. Comme toute fonction implicite de w, fournie par la résolution de Téquation

satisfait à Téquation différentielle

,^ /<£r\'n /dx\'»-< ldr\

les dérivées

dx\ dx^ dx

du du du

de m fonctions de cette espèce, incongrues suivant les périodes élémentaires, sont évidemment les racines de l'équation (18)

résolue par rapport ^-f- On a donc identiquement

P;,j i dxx dX'k dx

du -^rf^-^-'-^-rfir^sii^""-*-''-^---"-^"^'

d'où P/n-i = Oj puisque la somme ^1 -|- x^ -r • • • -h Xm est indépendante de u (324).

[On remarquera que la nature spéciale des équations différentielles dont rintégration nous a fourni les fonctions du second ordre E(j;), E«(:r) au Chapitre VIII, est conforme au dispositif de ce théorème.]

334. Le rapport de deux fonctions bipériodiques méromorphes douées des mêmes périodes, F(;r), /{x), se réduit à, une constante, si, dans une même maille, elles ont les mêmes zéros et les mêmes infinis, tous aux mêmes degrés de multiplicité.

Car ce rapport est une fonction de même nature, qui, dans celle /naille, ne possède évidemment aucun zéro ou infini, et dont par suite l'ordre s'abaisse à o (327).

Si K désigne la valeur constante de ce rapport, réqualion entière irréductible entre F, /(331) est