CHAPITRE IX. — FONCTIONS BIPÊIIIODIQUES EN GÉNÉRAL

Ici l'on a m< = M| = I , et le nombre d est l'ordre commun des deux fonctions.

335. Soient f\{x)^ /^{x)^ ..., fq{x) plusieurs fonctions bipériodiques méromorphes possédant les mêmes périodes y ^^ Si7 (?2> • • • > Qq l^s groupes de fractions simples provenant, pour chacune, de sa décomposition en une somme de pareilles fractions correspondant à ses infinis situés dans une même maille donnée et en une fonction fi{x) restant olotrope dans cette maille (39). Si les groupes dont il s*agit satisfont à quelque identité linéaire et homogène

(19) «lO'i-^- «î5*î"~-- -+"^71/7 = ^'

les fonctions proposées sont liées aussi par i^ne identité linéaire de la forme

at, . . . ^ aq et a désignant des constantes. En ajoutant membre à membre les q identités

multipliées auparavant par «i, . . . , a^, il reste à cause de (19)

Le premier membre de cette relation étant une fonction méromorphe aux mêmes périodes que les proposées, le second jouit de la même propriété. Mais il n'a plus d'infinis dans la maille considérée, puisque fi(^), . . ., fq{x) y sont olotropes; il se réduit donc à quelque constante a, parce que son ordre est nul (327); d'où la relation (20).

336. Par exemple, la différence F(x) — f{x)se réduit à une constante, si, dans une maille de leur réseau commun, la

372 DEUXlàHE PARTIE. — FONCTIONS D*UNE SEULE VARIABLE-

décomposition de ces deux fonctions donne les mêmes fractions simples.

En appelant a celte constante, Téqualion entière entre F, /est

et Tobservation finale du numéro précédent lui est textuellement applicable.