SIMPLES OU DE FONCTIONS CIRCULAIRES, ET EN SÉRIES FACTORIELLES

Origine et propriétés générales des fonctions Si(:r). 0(x).

337. Les questions résolues pour les fondions unipériodiques polarisées, dans les derniers paragraphes du Chapitre Vil, se traitent pour les fonctions bipériodiques par des moyens tout semblables.

Une série quadruple ment infinie est l'ensemble des valeurs en nombre illimité,

de quelque variante Um,n ^ deux indices//?, /z, qui est définie pour toutes leurs valeurs positives, nulles ou négatives.

Nous dirons contigus deux termes quelconques où, les valeurs d'un même indice étant égales, celles de Tautre diffèrent d'une unité seulement, et continu tout amas de termes tellement composé qu'avec deux quelconques d'entre eux il en contient forcément d'autres pouvant être écrits entre ceux-ci de manière que deux consécutifs quelconques soient toujours contigus. Nous représenterons en outre par S^ la somme des termes de tout amas contenant ceux au moins où les valeurs numériques de m^ n ne surpassent pas l'entier positif k.

Cela posé, si Sa tend vers une limite pour k infini, sous la seule condition que l'amas sommé reste toujours continu, la série est

convergente. On aperçoit immédialement alors que la valeur de la limite est indépendante de la composition variable de Tamas continu considéré, et on la nomme (au figuré) la somme de la série. Le reste de la même série bornée à Tamas qui a fourni une valeur de la variante S*, est S — Sa, excès sur S* de la somme S de la série, c'est-à-dire la somme de la série encore convergente obtenue en substituant zéro dans la proposée à tous les termes pris pour former S^; il tend naturellement vers zéro, quand k augmente indéfiniment.

La série est divergente dans le cas contraire, c'est-à-dire s'il est possible de former des amas continus de cette sorte, pour lesquels Sa n'ait point de Jimite. Une pareille série n'a point de véritable somme; néanmoins on peut souvent, par telle ou telle composition convenable de l'amas continu considéré, faire acquérir à Sa telle ou telle limite intéressante à étudier, ce que nous verrons bientôt. Une pareille limite dépend, dans sa valeur comme dans son existence même, de la loi qui a présidé à la formation progressive de l'amas correspondant; à bien des égards, on peut la regarder comme une somme fictive de la série, relative à la sommation spéciale qui l'a fournie.

338. Quand les modules de ses termes sont eux-mêmes en série convergente, la série (i) jouit de propriétés fort précieuses et de tout point identiques à celles que nous connaissons depuis longtemps dans le même cas aux séries ordinaires (ou simplement infinies). On prouvera notamment sans difficulté :

1° Qu'elle est convergente aussi;

2® Qu'elle conserve cette propriété quand on y substitue zéro à tels termes qu'on voudra, c'est-à-dire que toute série partielle formée avec des termes non répétés est également convergente;

3** Que la variante Sa tend toujours vers la somme de la série, quand bien même l'amas correspondant serait discontinu, ou bien, si l'on préfère parler ainsi, que le déplacement et le groupement des termes ne peuvent jamais ni détruire la convergence de la série, ni modifier sa somme;

Etc.