CHAPITRE n. — FONCTIONS MfiROHORPHES

A cet é^ard, la formule (7) donne

.,f. — Ki./i(a^)-4-(y — gi)/;(ar) ^^^^- (:p-a,)|i.^i '

où, en a; = ai, le numérateur du second membre est ololrope, avec la valeur — [Xi/, (ai) essentiellement différente de zéro. Pour/'(2?), le degré de multiplicité de Tinfini ai a donc bien augmenté de I (33).

Il s'ensuit immédiatement que, pour /^''^ (x)^ les degrés de multiplicité des infinis sont tous augmentés de tordre même k de cette dérivée.

Pour la même raison, ai, par exemple, est un infini de degré |JL, — f seulement pour ff{x)dx^ si toutefois cette intégrale est méromorphe en a^ ce qui est loin d'avoir lieu toujours (41, in/.).

37. Pour des valeurs de x suffisamment voisines de l^ infini quelconque ai de degré (Ji|, la fonction méromorphe f{x) est développable, et cela d'une seule manière, en une série procédant suivant les puissances de x — a^ à exposants entiers, et croissant algébriquement à partir d'un terme en {x — ai)"i*« dont le coefficient n'est pas nul.

D'après la relation (7) on a

/(a?) = (ar — ai)-l*i/,(ar),

où fi (x) est olotrope et non nulle en a: = ai, et à cause de ceci

/i(ar) = Ay>-hAVK^-«i)+---^-AÎ,*L,(ar-a,)!*.-i4-AJtV(a7--a,)l^i-h...,

où A|^*'non = o; on a donc, aussi longtemps du moins que cette série entière est convergente

(t). k(ii

-f- AltV 4- A[iî,î*-i (a? — a, ) -h . . . ;

c'est précisément le développement annoncé. Il est d'ailleurs unique, comme celui defi{x)^ d'où nous l'avons tiré.

On notera la formule évidente

38. Nous avons eu déjà à rappeler (280*) qu'on nomme simple toute fraction rationnelle d'une seule variable, ajant pour numérateur une constante, pour dénominateur une puissance (entière) d'un binôme du premier degré où l'on peut évidemment supposer égal à I le coefficient de la variable (sauf à modifier la constante du numérateur).

D'après cela et la relation (9), la fonction méromorphe f{x) est décomposât le en une somme de fractions simples de dénominateurs (x — a< )l*i, {x — a, y~*, . . . , {x — a, ), dont la première a un numérateur non = o, et d* une fonction f, (x), olotrope en aj , mais méromorphe dans Vaire S avec tous les infinis de f(x)^ saufoLiy aux mêmes degrés de multiplicité,

La diflférence

est méromorphe dans l'aire S (30, II) et ne peut évidemment y avoir d'autres infinis que a,, commun à ses deux parties, avec aj, as, . . ., ay autres infinis de f{x). Mais elle est olotrope en a,, puisque, d'après la relation (9) et pour des valeurs de x suffisamment voisines de ai, elle est représentable par la série entière

A jt\' 4- A[i\Vi(^ — «1 ) -h . . . .

Quant à l'infini a2, par exemple, elle l'admet au degré de multiplicité [X2, parce que |A2 est évidemment la plus faible valeur de l'exposant [jl qui puisse rendre le produit {x — ^2)^^\{^) olotrope et non nul en j: = a^ (33).

La fonction f\{v) jouit donc des propriétés énoncées, et la relation (9), écrite

opère précisément la décomposition dont il s'agit.