CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRI0DIQUE

parlir de laquelle le dénominateur de son second membre se maintient positif; F(m, n) alors ne peut plus s^évanouir comme nous Pavons annoncé.

Groupons maintenant les modules de ceux des termes de notre série, où k est précisément la plus grande valeur numérique des indices m, n. Leur nombre étant 8A% ils finissent, d'après ce qui précède, par former une somme inférieure à

8aA-(2A:-+-i)>'

eM 3(.2A--Hi;-^-i

terme d'indice k dans une série ordinaire qui est convergente (273), puisque A — (X -I- i), excès du degré du dénominateur sur celui du numérateur, est au moins égal à 2, à cause de A — )^^3 . Ces sommes forment donc à plus forte raison une série convergente, ce qu'il nous suffisait d'établir d'après l'observation finale du numéro précédent.

Quand l'inégalité (3) n'a pas lieu, on prouve facilement que la série est divergente.

340. Les considérations précédentes sont applicables aux séries quadruplement infinies dans lesquelles, x désignant une variable indépendante, on a

{j; — //lil — nily

inverse de la puissance d'exposant i (entier positif) du terme général d'une progression arithmétique aux deux raisons II, û, de moment non nul (309); effectivement Um^n est ainsi une fraction rationnelle en m, /i, où (mn + ziO)', ensemble des termes de degré maximum dans le dénominateur, ne peut s'évanouir pour d'autres valeurs réelles de m, n que (0,0), à cause de l'hypothèse faite sur II, û. Ce sont les propriétés de ces séries que nous allons approfondir.

Pour i^3, la somme d'une pareille série, qui alors est toujours cons^ergente ai^ec celle des modules de ses termes (339), est une /onction indéfiniment méromorplie de x^ qu!on peut différentier et intégrer sur un chemin quelconque, en traitant

séparément de la même manière tous les termes de la série. Pour i= 2, la somme variable

des termes d\in amas continu (337) tend vers une limite jouissant des mêmes propriétés, à condition toute/ois que la même somme construite pour ;r = o, savoir

le {mil -h /ii2)«

tende vers une limite.

Pour /= I, et pour la somme variable

j^x — m II — nil

même chose a lieu encore, sous la condition précédente accompagnée de celle que la somme de composition semblable

ait aussi une limite.

[Nous supposons naturellement chacune des sommes (6), (8) débarrassée de son terme impossible où m = n = o.]

Pour démontrer ce théorème, on raisonnera exactement comme nous l'avons fait au n° 277 dans une circonstance analogue, en s'appuyant sur celui du n° 339, sur le fait particulier établi dans Talinéa I de la démonstration de ce dernier, puis, pour ce qui concerne les cas où f = 2, î = i , sur les formules

fournies par une décomposition évidente de tous les termes où « = mil H- nÙ n'est pas nul.