CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

nié re qu^ elles aient respectivement pour limites deux quantités arbitrairement choisies.

I. Les mêmes choses étant posées qiHaux n^^ 274 et 275, on a arec

(i2) modf 3< r^(T 3 p-,

o'-j désignant ici la somme des cubes ins^erses des modules des termes du tronçon de progression arithmétique considéré.

On raisonnera exactement comme au u^ 275, mais en partant de la relation

Ui-h h Ui ' a? M? \ Ui uf '"J^

également applicable à partir du moment où mod— se maintient au-dessous de 8 < i .

II. 1** Pour faciliter la conception des choses, nous tracerons deux axes rectangulaires sur un tableau plan, et nous nommerons jalon d'un terme quelconque Um,n d'une série quadruplement infinie le point de ce tableau ayant m, n pour abscisse et ordonnée.

Appelant ensuite M| <C Mj deux entiers de signes quelconques, N«, Nj deux autres entiers de même signe, donnant numériquement N4<;N2, nous construirons sur le tableau le rectangle [M|, M2, N|, N2] dont deux côtés opposés sont empruntés aux droites m = M|, /w = M2, les deux autres aux droites /i = N|, n = N2, et nous évaluerons d'abord la somme Sh^ h^ Nj,n, de tous les termes de l'expression (6) tombant (c'est-à-dire leurs jalons) sur le périmètre ou à l'intérieur de ce rectangle; ces termes sont ceux où m est compris entre M4 et M2 inclusivement, n entre N| et N2. Nous supposerons ensuite Nj, N2 positifs pour fixer les idées, et aussi Ni. assez grand pour que, dans les termes considérés, les rapports de modll et de modû à mod(mn -j- nù) soient toujours inférieurs à une quantité positive donnée 8 < i (339^ 1).

Les termes de notre somme où /i a une même valeur sont les carrés inverses des termes d'une progression arithmétique de raison — II, ayant pour extrêmes M,n -|- /lû, M i II -h /lû; la formule (il) donne donc pour leur somme

11 L(Mj — i)n-f-nQ M,n-hniiJ

-heL"^

Il faut faire ensuite « = N|, N| -f- 1, ..., N2, puis sommer de nouveau; la formule (5) du n® 275 donne alors

^ 1 \ r(Mi-i)n4-(Nt-hi)Qi rM,n-KN2-^i)ûi/

=>M,.M„N..N, j^^jj 1^ (Ml— 1)11 -h N, 12 J l M,nH-N,l> Ji (i3) ( "=>•«

On remarquera que la dernière partie de cette expression est la somme des termes tombant dans notre rectangle, d'une série quadruplement infinie qui est convergente elle-même et celle formée par les modules de ses termes. L'inégalité (12) montre effectivement que les modules des termes élémentaires de tîf,' sont inférieurs aux quantités positives

formant elles-mêmes une série de ce genre (339).

L'inégalité (6) du n° 275 montre que les termes de l'avant-

dernière partie, si l'on y néglige le facteur commun — —> ont des modules inférieurs aux quantités

TrT'"«'^(M.ll + /»!!)«' (« = N„N. + i, ...,N.)-

Si donc M2, N| restent fixes, et si N2 augmente indéfiniment, cette avant-dernière partie a une limite (273). Si M2 ou N<, ou Ions deux sont infinis, elle est infiniment petite; ceci résulte de ce que nous avons vu aux n*^' 274 et suivants.

Et de même pour l'antépénultième partie, où M| — i, N,, Nj jouent les mêmes rôles que Ma, N,, N2, dans l'avant-dernière.

2° Appelons maintenant M, N deux entiers positifs infinis, puis