CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

[M, N] le rectangle variable dont deux côtes opposés ont pour équations /n = ± M et les deux autres /i = zii N. Appelons en outre [M I, N|] un rectangle de ce genre, mais invariable, en dehors duquel le module de mil + nQ soit toujours supérieur à modil et a modû.

Si Ton décompose le rectangle [M, N] en sept autres, savoir : 1® le rectangle [M,, N|], 2° celui dont les côtés opposés ont pour équations /?i=±:M, n = Ni ou N, 3*^ celui dont les côtés sont caractérisés par m = — M ou — M|, n = o ou N<, 4 " le symétrique de celui-ci par rapport à l'axe des n, puis enfin les symétriques des trois précédents par rapport à Torigine des m, riy la formule (i3), appliquée successivement à chacun des six rectangles variables, donnera facilement, pour la somme ^h^^ des termes de l'expression (6) non extérieurs au rectangle [M, N],

2 ,r— Mn-uNûl

où xp^ ji est une certaine variante ajant une limite déterminée, de quelque manière que M, N augmentent indéfiniment.

Ainsi donc, on créera une limite pour Vexpression (6), en la composant des termes non extérieurs au rectangle [M, N],

et en assujettissant Cun ou Vautre des rapports -^^ i^à tendre

vers une limite déterminée,

3® En choisissant convenablement la limite de Vun ou Vautre des rapports ci-dessus, et en ajoutant aux termes contenus dans le rectangle [M, N] ceux que renferment certains polygones additionnels contigus à ce rectangle et formant avec lui un ensemble symétrique aussi par rapport à V origine des m, n, on peut faire acquérir à Vexpression (6) telle limite qu!on voudra.

Nous supprimons, pour abréger, cette partie de la démonstration dont les conséquences ne nous sont pas indispensables.

III. Les jalons non extérieurs au polygone déGni ci-dessus (II, 3**) ayant deux à deux des coordonnées égales et de signes contraires, la somme (8), quand on la compose de termes ayant ces

mêmes jalons, s'évanouit sans cesse et par suite a zéro pour limite.

Mais si, appelant M' la plus grande valeur de m dans ceux de ces termes où m > o, n = o, puis M'' un autre entier infini donnant au

rapport -^, une limite |jl non nulle, on introduit dans celte somme

les termes contigus

quand [jl > i, ou bien si l'on y supprime les termes

quand |jl est << i, la limite de cette même somme augmente toujours de — Jp (276, I). Elle augmente semblablement de -^ par

l'introduction ou la suppression de termes de la forme — • Pour

lui donner la valeur quelconque — > il suffit donc, en posant

a = a'-H ïV, de trouver pour [jl, v deux quantités positives donnant

( Û'/(fx)-hn''/(v) = a',

équations toujours résolubles de cette manière à cause de la nonnuUité du moment de n, û.

L'introduction ou la suppression des termes de mêmes jalons dans la somme (6) n'en modifie pas d'ailleurs la limite; car elle lui ajoute ou lui retranche les sommes des carrés inverses des termes de deux tronçons de progressions arithmétiques, dont ceux de moindres modules sont infinis (274).

Cette dernière observation achève évidemment la démonstration que nous avions à faire.

342. Les sommes qui constituent les derniers termes des formules (9), (10), ajant des limites indépendantes de leur composition, parce que leurs termes généraux appartiennent à des séries quadruplement infinies qui sont convergentes même quand on

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réduit chacun de leurs termes à son module (339), il résulte de ce qui précède que toutes les fonctions méromorphes que les sommes (5), {']) peuvent avoir pour limites, quand on les compose convenablement et semblablement , sont renfermées dans les formules

(i4) --+-C'— Cr-+-f,(a:),

OÙ C, Q sont deux constantes arbitraires et f|(x), (2(x) deux fonctions qui en sont indépendantes et s'évanouissent pour x = o.

Pour plus de simplicité nous rendrons C'=o, en prenant toujours symélriqye par rapport à l'origine des m, n le polygone réglant la composition variable commune des sommes (6), (8), comme nous l'avons indiqué ci-dessus (341, II, 3°), et nous représenterons alors la seconde de ces fonctions par H| (x), la première par H2(^).

Pour i^3, nous représenterons par S|(x) la somme de la série ayant (4) pour terme général, moyennant quoi on aura aussi bien

pour toute valeur de i et pour toute composition de cette somme semblable à celle ayant déjà engendré H| (x) et E2{x).

343. Les propriétés suivantes de toutes ces fonctions sont à peu près évidentes.