II. En posant

r, = Mn — Nû, f, = Mn-+-Nû, ^8 = — ^1= Nû — Mn,

et précisant les logarithmes comme au numéro cité, on a

<"' 'fê)-'(s)-*'-'

selon que le second élément de = est positif ou négatif,

I** Le premier membre de cette relation est évidemment égal à

m-'Cù'

accroissement éprouvé par /(^) quand t décrit la ligne brisée conduisant de t^ à ^3, puis de ^2 ^ ht ou bien, ce qui revient évidemment au même, quand t décrit la demi-circonférence de centre / = o, conduisant de ^< à ^3(= — t^ ), dans le même sens de rotation. Cette somme se réduit donc à ± izi suivant que ce sens est direct ou rétrograde (186 bis),

2^ Maintenant, et en thèse générale, on observera que, trois points quelconques /|, t^^ t^ étant donnés, tout déplacement de Tun qui ne lui fait pas franchir la droite joignant les deux autres, c'est-à-dire qui ne fait pas passer par zéro la valeur du déterminant

et qui, par suite, lui laisse un signe invariable, ne change pas, pour un observateur placé au milieu du côté [/{ ^3] du triangle [^1 t^tz^. le seps de rotation du mouvement d\in point mobile allant de t\ à ^3 sur les autres côtés [/| ^2]» [^2^s] (lu même triangle.

Il en résulte que ce sens est direct ou rétrograde, selon que le déterminant (22) est positif ou négatif; car, sans changer ce sens, on peut amener les trois points en question à coïncider respectivement dans le premier cas avec i-j-i.o, o+i. i, — i-l-i.o, points pour lesquels à la fois le sens est direct et le déterminant positif, dans le second cas avec i -|- /.o, o-f- 1( — i), — i + l'.o, points pour lesquels les inverses ont lieu.

3° Comme pour nos points ^<, t^y <8= — <i, ce déterminant caractéristique se réduit à 4MN(n'Û'^— ff'û') et que MN est positif, il faudra bien, dans la relation (ai), choisir le signe + ou le signe — , selon que le moment (n'û" — U'^û') sera positif ou

négatif, c'est-à-dire selon que le second élément de ~ sera ^o (2o7), ou bien que celui de — sera ^o.

III. Les relations (20), (20 6/5) et (21) donnent immédiatement

Maintenant la fonction 'S| {x) précisée ci-dessus (l) et la fonction Si(j?) étant deux déterminations de l'expression (i 4) pour C'=o, on a

C désignant une certaine constante. On en conclut immédiatement

Si(ar -h n) — £1(2-) = en + e.l>n = An,

d'où la relation (17) complétée par l'égalité (18).