IV. Pour /? = i, q = 0 et x = > valeur qui n'est pas un

infini de S|(x) (343, II), la relation (17) donne (343, III)

An =3.(1) -s. (-5) = ,2.(5),

et l'on obtient de même la seconde des formules (19).

V. A cause de la propriété exprimée par Féquation (17), nous dirons que II, û sont de fausses périodes pour S| (a?), et nous appellerons An, Aq les augments correspondants de cette fonction.

VI. La distribution des infinis de ^\{x) (343, II) montre immédiatement que les seules périodes possibles de cette fonction sont de la forme pW-^-qQ {p, q non tous deux = o) ; et, en vertu de la relation (i^),/?! Il -|- Ç|û est effectivement une période si, par hasard,

ce qui est réalisable, par exemple, quand An = o, en prenant qi = o et Pi à volonté (Cf. 359, in/.).

Mais si /72 H + 92^ét^ît une seconde période, on aurait en outre

/>îAnH-^iAo = o, d'où

Pi ^1

Pi Ci

parce que, d'après l'égalité (18), on ne'peut avoir An= Aq = o. On pourrait donc trouver quatre entiers p, <|, [jL|, [1.2 donnant Pi = |jL,p, q^ = fX|cj,/>2= ['•2jpf ?a= \'-2^}'i moyennant quoi ces deux périodes seraient certainement composées de la période unique

pli +C|Û.

34S. Pour 1^2, la fonction E/(:r) est bipériodique aux périodes élémentaires II, Û.

Car la différentiation de la relation (17) combinée avec (i(3) donne alors l'identité caractéristique

Ces périodes n, Q sont d'ailleurs élémentaires, à cause de

la distribution spéciale des infinis communs de ces fonctions (343, II).

On pourrait encore employer le raisonnement direct du n^344, appuyé sur le théorème du n^ 274.

346. Si a^ ^, . . ., X désignent des constantes quelconques, mais incongrues selon le couple (II, û), toute /onction linéaire de quelques fonctions

(23) E(a7-a), S(a?-P), ..., S(ar-X),

dont celles d^ indice i sont d^une même pro^fenance quelconque, est une fonction bipériodique de x admettant les périodes H, û, pourvu toutefois que, dans cette expression linéaire, la somme des coefficients des fonctions H d'indice i se réduise à zéro.

Soient Â, B, ..., L ces coefficients de S» (a: — a), S|(j? — p), ..., H| ( x — X). Comme les fonctions S dUndices >> i admettent les périodes II, û(345), l'addition kxàcpYl + ^û augmente simplement l'expression linéaire considérée de

(A -H B -4-. . .-h L)(/> Aj, 4- ^r Aq),

c'est-à-dire de zéro en vertu de l'hypothèse (344).

Cette fonction a pour infinis évidents les quantités a, ^, . . ., )^; leurs degrés de multiplicité sont les plus grands indices des fonctions S où l'on a substitué (x — a), {x — P), . . . , (x — X), et les coefficients de l'expression linéaire sout précisément les numérateurs des fractions simples provenant de la décomposition de la fonction bipériodique ainsi engendrée.

347. Réciproquement, toute fonction bipériodique indéfiniment méromorphe f{x)^ aux périodes TL^ û, s'exprime linéairement au moyen de fonctions analogues à (28) et à indices convenablement choisis.

Soient . . .^clj, ... les infinis de/(x) tombant dans une méoie maille de son réseau élémentaire, et Aj j, A2,y, . . . , A/j, • . . les numérateurs des fractions simples en {x — ay)~*, [x — ^j)"^^ • - - , {x — ay)"', . . . provenant de la décomposition de f(x) relative-