CHAPITRE II. — FONCTIONS MÉUOMORrilES

39. La fonction méromorphe f{x) est décomposable en la somme des f^roupes de fractions simples correspondant à ses divers infinis et d*une fonction fy(x) qui est olotrope dans toute Vaire S.

Kïi recommençant la décomposition pn^cédenle sur f|(j:) puis sur les autres fondions complémentaires ^-^i^x)^ f^i^)', • • • qui s'inlroduisent successivement, il vient

OÙ fi{j^) est une fonction méromorphe n'ajant d'autres infinis dans l'aîrc S que a/^.!, a/^2j • • «^ a^, où en particulier fy(x) y est olotrope puisqu'elle n'y en a plus aucun. En ajoutant membre à membre, il reste, après simpliHcation, la décomposition annoncée

Ail) ^0

(j ai)[>-t

{JT — ^y)^'^ X 3t/

OÙ les numérateurs des fractions simples seront fournis par des formules telles que (lo).

40. Si fY(j?) représente une fonclion quelconque de x, olotrope dans l'aire S, le second membre de la relation précédente (i4) fournit un autre type général des fonctions qui sont méromorphes dans cette aire, avec les infinis (4) aux degrés de multiplicité (6).

Pour quune expression de cette nature soit nulle identiquement, il faut et évidemment il suffît que l'on ait

ttvec fy(^)=:o identiquement. Car si, par exemple, on n'avait pas AJj*' = o, le produit (x — %t)^if{x) se réduirait à AJ," et non à o pour :r = ai ; et de même successivement, pour les numérateurs des autres fractions simples. Ces conditions réduisant f(x) à M. - II. 3

fy(j;), il faut bien aussi que cette dernière fonction soit nulle identiquement.

Il s^ensuit que le résultat de la décomposition de f{x) par la formule (i4) est unique. Car la différence de deux semblables résultats reprend, après réductions, la forme du second membre de la formule en question, et il doit être identiquement nul. De part et d'autre, les fonctions simples doivent donc être identiques, ainsi que les termes complémentaires olotropes.

41 . Pour que ff{x)dx soit aussi méromorphe dans Vaire S supposée imperf orée, f{x) désignant toujours le premier membre de la relation (i4)j H ^st nécessaire et suffisant que Von ait

(15) A|,V-i=AiiLi = ... = Ajî}i = o.

Le résultat de la différentiation du second membre de la relation (i4) est évidemment une expression de même forme, et, par suite (40), il est celui de la décomposition de f{x) en des groupes de fractions simples accompagnés d'une partie olotrope. Comme cette différentiation augmente de i les degrés de tous les dénominateurs des fractions simples, la décomposition de f'{x) ne peut donner aucune fraction simple ayant un dénominateur du premier degré. Pour que f{x) soit la dérivée de quelque fonction méromorphe, il faut donc aussi que sa décomposition ne donne aucune fraction simple de cette espèce, c'est-à-dire que les égalités (i5) aient lieu.

Ces conditions sont d'ailleurs suffisantes; car, si elles sont satisfaites, l'intégration par décomposition du second membre de la relation (i4) donne (215% II, IV)

Ai»' I . . A[,\L. I

f «6) ff{x)dx= [ )^f\^(x)dx.

— fJLy-f-i {x — !Z.)Fr-i — i X — a

cVst-à-dire une fonction qui est méromorphe dans l'aire S, parce que celle-ci est imperforée, et qu'ainsi ffy{^)dx y est olotrope (209% VI).