CHAPITRE X. — DÉVBLOPPBMBNT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

ment à ay. Le résultat de la sommation

SA/,yS/(ar — ay)

étendue à toutes les combinaisons de valeurs de e, j, qu'il j a lieu de considérer pour/(:r)y est indéfiniment méromorphe et admet les périodes II, û, parce que la somme des coedGcients de . . . , S|(j: — ay), ... s'y réduit au résidu intégral de f{x) dans la maille en question, c'est-à-dire à zéro (328), (346). De plus, cette fonction ne diffère de f{x) que d'une constante, parce que la décomposition des deux fonctions dans une même maille donne les mêmes fractions simples (343, II), (336). Donc, etc.

348. Appelons 'S,i(x) une détermination quelconque de S|(j:), construite sur les périodes (vraies ou fausses)

'n = «n -<- pu, 'û = yn -h 8û,

a, p. Y, 5 désignant des multiplicateurs entiers satisfaisant à la condition

Posons en outre

(25) 7g('A.n-«An-PAû)=l('A^a-YAn-5Aû; = A,

où 'A'n, 'A'û représentent les augments de 'S| ( j?). On a les relations

(26) 'S,(a?) — Si(ar;= Aar,

et, pour 1^3,

Cette dernière identité est évidente; car, pour t^ 3, S|(j?) est la somme d'une série quadruplement infinie dont les modules des termes sont en série convergente, et qui peut être sommée d'une manière quelconque sans altération de résultat. Or, le changement

du mode de sommation, accompagné de celui des périodes, n^est au fond qu^un simple changement dans le mode de la sommation ; car, à cause de la condition (a4)) Tensemble des valeurs de m'U-^n'Q coïncide exactement avec celui des valeurs de m II + n û.

Maintenant, comme à quelque facteur numérique près (343,1) le premier membre de (28), pour t = 3, est la dérivée première de celui de (27), seconde de celui de (a6), ceux de (a6) et (27) sont des formes linéaires ùlx + C et — A, où A, C sont des constantes qu41 nous reste à calculer.

La seconde est nulle, parce que, si Ton pose x =odans le premier membre de (26), après avoir retranché - de chacun de ses

termes, il reste o — 0 = 0 (343, IV).

ËnGn, et en vertu du théorème du n^ 344, le premier membre de (26) augmente de 'A'jj — (^A-u+PAq) quand x augmente de 'n = an + ^û, et le second de A'II; d*où pour A» la première valeur assignée par la formule (26). La seconde valeur s'obtient de la même manière en faisant croître a: de 'Û = yïl -h 8û. Leur égalité serait encore assurée parla combinaison des relations (18), (24)-

349. Comme toutes les déterminations de la fonction S| sonl celles de l'expression (i4) pour C'=o et pour une valeur quelconque attribuée à l'autre constante C, l'expression

(29) £:^a?)-hAa?

est réciproquement une certaine détermination de la fonction S| , quelle que soit la constante A.

On notera qu'eV existe toujours une fonction S|, mais une seule, ayant une quantité quelconque donnée pour augment de nom donné.

Pour que le premier augment par exemple de la fonction (29) soit égal à oAoq par exemple, il faut effectivement et il suffit que l'on ait

d'où

Mais l'autre augment n'est plus arbitraire, car il est lié au premier par la relation (18).