CHAPITRE X. — DâYELOPPEMENT DBS FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

3S0. En appelant M un entier positif, puis -*'S| {x) la fonction H| construite sur les fausses périodes t|> Û, açec un pre-

niier augment égal à An (349) et un second égal par suite à MAq [à cause de la relation (18)], on a V identité

G désignant une constante, nulle pour t > i, mais égale à pour i= i.

La difTérence dont il s'agit, qui est indéfiniment méromorphe,

admet ^> û pour périodes, ce qui est évident pour î > i (34o) et

vrai aussi pour / = i . Dans ce cas, en effet (344), l'accroissement ^r

attribué à x augmente respectivement ses deux parties des quantités éî^ales

Si^j7-f-M^^-S,(a7), An

et l'accroissement û les augmente des quantités encore égales

Aq X M, MAq.

D'ailleurs la même différence n'a pas d'infinis; car ses deux

termes ont pour Infinis communs les quantités m^ -^ nù^ et

ils donnent par leur décomposition les mêmes fractions simples pour chacun d'eux. Elle se réduit donc à une constante (336), et celle-ci est nulle quand z > i, parce que l'identité (3o) relative à ce cas peut aussi se déduire par différentiation de celle relative ki=i (343,1).

Si, quand 2 = 1, on ajoute membre à membre l'identité (3o)

pour x= -^ avec ce qu'elle donne pour x= ^y il vient

facilement (343, III)

à cause de

et l'on a bien C = F.

Cette formule (3o) est quelquefois utile à la simplification des expressions fournies pour les fonctions bipériodiques par le théorème du n® 347.

351. En ayant égard à la propriété de toutes les fonctions S, de pouvoir être difTérentîées et intégrées par la diflférentiation et Tintégration séparées, des fractions simples dont la sommation les a engendrées, et en raisonnant exactement comme aux n'** 28o et suivants, on obtient immédiatement les propositions qui terminent ce paragraphe.

Le produit des binômes linéaires

/Il II -H /i i2

dont sur le tableau les jalons remplissent un polygone de dimensions infinies jouissant de la double propriété d^étre symétrique par rapport à l'origine des m, n et de faire converger la somme (6), tend vers une limite 0{x) qui est une fonction de x indéfiniment olotrope; on suppose remplacé toutefois par x le facteur impossible oà m = w = o. Le produit semblablement composé des binômes

6 H- mW -hnii'

OU le paramètre 8 n'est pas de la forme mil -{- nÛ, tend aussi vers une limite 0{x, 6) qui est indéfiniment olotrope.

Ces fonctions s^expriment au moyen de la fonction S, (de