IV. On a les identités

(34) 0(a7-f.n)=— /°('"^?)o(jr), 0(ar + Û)= - cM"^«)o(;r). L'équation différentielle (82) donne

■^[iO(x-hU)-iO(x)] = :E,(x-hU)^s,,(x) = Xn (Ui),

d'où, par intégration et passage des logarithmes aux nombres,

0(a:-f-n)=Cc^n'0(ar),

C désignant une certaine constante.

En faisant dans cette relation x= — — > ayant égard à (33) et

divisant par 0( — j qui ne peut s'évanouir (II), il vient

An-r

394 DEUXliME PARTIE. — FONGTIONS D'UNE SEULE VARIABLE.

ce qui donne la première des formules (34); l*autxe s^établit de la même manière.

Toutes deux montrent que Taddition de pU-i-qQ à x multiplie 0{x) par une exponentielle dont le signe et l'exposant, fonction linéaire de x, s'obtiennent immédiatement.

Comme au n^ 344, V, nous appellerons II, û les fausses périodes de 0{x).

353. Pour exprimer 0{x^ 8) au moyen de 0{x)^ on a la relation