CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES PONCTIONS BIPÉRI0DIQUE

Uexpression

est une fonction indéfiniment méromorphe de x, aux périodes II, Û, ayant pour zéros aux degrés de multiplicité (36) respectivement les quantités (Sg), et pour infinis aux degrés de multiplicité (87) les quantités (4o).

Chaque terme de cette fraction étant indéfiniment olotrope comme 0{x) (351), et Texponentielie Tétant aussi, la fonction ^{x) est indéfiniment méromorphe.

Maintenant, si Ton change x en â?+n (352, IV), le second membre de notre formule est multiplié par — i élevé à une puissance d'exposant (/Wj + . . . 4- mg) — ( jjL| -H • • . -f- fty) et par une exponentielle d'exposant

An -f- An [(m,-4-. . .-4- m^) — (fji, -4-. . .-*- ixy)] far -h - j

— [(m,aiH-...-t-w^a^) — (fiiai-+-...-4-|Xyay)]

c'est-à-dire par iX^^^^'=i à cause des conditions (38), (4 ï)> (4^). Notre expression a donc II pour période, et de même û.

Finalement, comme 0{x) n'admet pour zéros, tous simples, que les quantités mil + nù (352, II), la même expression a bien pour zéros et infinis, aux degrés de multiplicité spécifiés, les quantités (89) et (4o) (avec toutes les valeurs de x qui leur sont congrues).

355. Réciproquement, si l'on représente par les notations (39), (4o)> (36), (37) les zéros et infinis incongrus de la fonction méromorphe F{x) aux périodes II, Û, ainsi que leurs degrés de multiplicité, et par A un coefficient convenablement choisi, on aura

(44) F(a7) = K*(ar),

K désignant une certaine constante.

D'une part (321) les entiers (36) (37) remplissent la condition (38); d'autre part (325) les quantités (39), (4o) satisfont à

396 DBUXlàME PARTIE. — FONCTIONS D'UNB 8EULB VARUBLB.

la condition (40? sauf à choisir convenablement les entiers/?, q. Si donc on prend pour A la valeur donnée par la formule (4^)9 l'expression (43) sera, diaprés le théorème précédent, une fonction méromorphe bipériodique, et aura en commun avec F(x) ses périodes II, û, ses zéros et infinis aux mêmes degrés de multiplicité. Le rapport ^ se réduit donc nécessairement à une constante (334), d'où la formule (44)-

Dans chaque cas particulier, la valeur de K se déduit d'une hypothèse numérique simple faite sur x. On pourrait remplacer

0(x — at), ..., 0(ir — at), ... par

0(a?, a,)0(— ai), ..., O^a?, ai)0(— «i), ... (353).

356. La formule suivante permet quelquefois de simplifier l'expression (43).

En appelant^^^O{x)^ la fonction O engendrée par r intégration de la fonction ^**'S|(j:) définie au n° 350, on a V identité

oà H est une certaine constante.

Pour y arriver, il suffit d'écrire l'identité (3o) pour î = i, de l'intégrer au moyen de la relation (32), puis de passer des logarithmes aux nombres.

£n faisant j? = o dans cette relation, après avoir divisé par x les deux termes de son premier membre, il vient (352, I)

357. La formule (44) fournit, pour la fonction bipériodique quelconque F(j:), une expression composée avec la seule fonction simple 0{x) [ou 0{x, 8)]; pour les calculs numériques, elle est donc bien préférable à celle du n" 347, qui contient les fonctions différentes S|, H2, . . . , et qui n'est pas comme celle-ci calculable par logarithmes. On conçoit qu'une Table des valeurs d'une fonc-