CHAPITRE X. — DBVBLOPPEMXNT DBS FONCTIONS BIPBRI0DIQUE

tion Oi^-x;) puisse permettre de trouver facilement celles de toute fonction bipériodique offrant les mêmes périodes. On préfère naturellement pour cela une des deux fonctions 0(x) qui sont unipériodiques, et dont nous parlerons dans le prochain paragraphe (365, in/.).

358. Si'0{x), 0(x) désignent les deux fonctions O engendrées par l'intégration des fonctions 'S, (x)j S| (x) du n^ 348, on a entre elles la relation

En opérant sur Fidentité (26) comme nous Pavons fait au n® 356 sur ridentité (3o), on arrive à

et Ton a C = I, parce que le premier membre tend vers i quand x tend vers o (352, I).

Fonctions Si (a;) et 0{x) douées de périodicité simple.

359. Dans le paragraphe précédent, dont nous conservons les notations pour celui-ci en prolongeant son numérotage, nous avons vu (349) qu'on peut donner une valeur arbitrairement choisie à Tun ou à l'autre des augments de la fonction E| (x). Si donc on réduit le premier à o, elle acquiert la (vraie) période D, et si c'est le second, elle acquiert la période Q. L'autre augmenta alors déterminé par l'équation (18), ne peut jamais s'évanouir. Ce sont ces deux fonctions douées ainsi de périodicité simple, dont nous allons nous occuper; nous les représenterons par ^^^S|(j:), ^^'S|(j:), et nous ne parlerons que de la première, parce que tout ce qui la concerne s'applique à la seconde, mutatis mutandis.

En faisant An = o, l'équation (18) donne pour le second augment

de ^^^S| (j:), la valeur

. ITZl

selon que le second élément du rapport g est ^ o.

Comme la formule (20) donne *

JUjj =0

quand JÇ^= o, la fonction ^^S| (x) est la limite de la somme {'j) composée des termes dont les jalons sont contenus dans le rectangle [M, N] rfa /i** 341, II, 2®, pourvu quHl s'agrandisse indéfiniment sous la condition

(45) Iimjj=o.

360. La fonction ™Si (x) se développe en série trigonomé-trique doublement infinie par la formule

(46) t")Si(a7)= g'iin^^^^n (^ — ^*Û), {pour N infini).

I. On fait acquérir des limites aux expressions (6), (8), en composant chacune de tous les termes qui remplissent le rectangle [M, N] {celui ou Von aurait m = n = o, bien entendu, excepté), puis en faisant croître indéfiniment, M d^ abord, N ensuite,

\^ C'est évident pour l'expression (8) qui, étant ainsi toujours nulle, tend nécessairement vers o.

2® Pour M infini, la somme des termes de l'expression (6), où /i = o, a pour limite le double de la somme de la série

i^n» 2*n» mïfl*

qui est convergente (273). Celle des termes où n a une même valeur ^ o, tend, d'après le n** 283, vers

Ç,(/iû, -n)= f-JL-V-^J—, OÙ l'on a posé pour abréger

TZil