CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DEB FONCTIONS BIPÉRI0DIQUE

En négligeant donc le double de la quantité (47) et le facteur (3^) ' l'expression considérée tend, pour N invariable, M infini, vers le double de

sin'iv sin*2L '" sin'Nv

Or cette dernière somme est celle des N premiers termes d'une série convergente; car v n'étant pas nul, puisque le moment de n, û ne l'est pas, on écrira, si /est positif,

(t^\ t ^ at ^ ^ijer^')^

d'où

mod sin

à partir du moment où le module de l'exponentielle {C^'f^y infiniment petit à cause de — v''<o, se maintient au-dessous de la quantité positive invariable e <C i , et le second membre de cette inégalité est le terme général d'une progression géométrique de

raison e*"'^''< i.

Quand %," est négatif, on arrive à la même conclusion en multipliant par e^^' les deux termes de la fraction formant le membre médian des égalités (4S)-

II. Les limites mentionnées ci-dessus (I) sont égales à celles que fournit le rectangle [M, N] s' agrandissant sous la condition (45).

1*^ C'est encore évident pour l'expression (8) qui se réduit sans cesse à zéro.

2® Appelons maintenant Supi l'expression (6) composée des termes dont les jalons remplissent le rectangle [M, N], et $.,;« sa limite pour M infini, N conservant une valeur invariable.

Il est évident que la différence S.^i, — Su,?, est le double de la limite vers laquelle tend, pour M' infini, la somme Sh^i|.^ji,î« des quantités^— = trrr dout Ics jalous remplissent le rectangle ayant ses

(mn-4-/iû)* j r D ./

côtés empruntés aux droites w = M -f- 1 ou = M', et /i = it: N.

400 DEUXIBMK PARTIS. ^ FONCTIONS D*UNB SBULB TARIABLE.

Or la formule (i 3) légèrement modifiée permet d'évaluer Suh.^^^, puis sa limite Su « ;v,n pour M' infini ; à part des quantités qui sont toujours infiniment petites quand M, N sont infinis, l'expression de cette dernière ne contient plus qu'un logarithme que la condition (45) fait tendre vers zéro. On a donc bien, sous cette condition,

lim Sm,n = fini S«,n.

III. Pour obtenir ^^Ej (x), il suffit donc, en vertu du théorème du n^ 340, de donner à la somme variable (7) la composition spécifiée dans l'alinéa (I).

Quand on fait croître M indéfiniment, la somme des quantités — — — ^^—2 — 77 dont les jalons tombent dans le rectangle [M, N], et où n a la même valeur, tend vers

t,(a? ~ nû, n) = J Ç, [ J {X - /ii2), «] = J cot J (x - nQ) (Î83),

et la formule (46) se trouve établie.

361 . En vertu des théorèmes des n*** 340, 277, on pourra diffêrentier la formule (46) ou V intégrer sur un chemin quelconque, en exécutant séparément les mêmes opérations sur les divers termes composant la somme variable du second membre.

Cette observation, combinée avec la relation (16), conduit pour la fonction S2(:r) de même provenance j c'est-à-dire limite de l'expression (5) composée comme nous l'avons expliqué cidessus (360, I), à la formule

(n)£,(2:)= (^)'liiny ' , (pour N in f ni).

^"/ ^sin^^(x^nil)

Ici on peut remplacer le second membre par la somme véritable de la série doublement infinie ayant f — ) î Dour

terme général, parce que celle-ci est convergente, même quand on réduit ses termes à leurs modules, comme le prouve le raisonnement fait ci-dessus (360, I, 2®).