CHAPITRE X. — DÉYBLOPPEMBNT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

En poursuivant les difTérentiatlons, on obtient les développements des fonctions Z^{x)j E^Çx), • . • (dont la provenance est indifférente), en séries doublement infinies procédant suivant des fonctions circulaires faciles à calculer.

362. Chacune des fonctions ^^Si (^), ^^^S2(^), S3(^), S4 (x), ... est développable en une série qui, sauf son premier terme ^ procède suis^ant les sinus et cosinus des multiples entiers d'une même fonction linéaire de x. Et cette série converge pour toute valeur de x tombant entre deux droites parallèles à la période II menées par deux des infinis communs à toutes ces fonctions, de manière à n'en contenir aucun autre dans la bande qu'elles limitent.

Nous appellerons

le rapport — dont^ pour fixer les idées, nous supposerons le second élément p" positif; nous poserons, pour simplifier,

(49) e>«^P = e-iiip'e««''p' = y,

et l'on retiendra que mod^ < i à cause de p"> o.

I. Notre théorème est vrai pour la fonction ^^^S, {x) et pour les valeurs dex comprises entre les parallèles à II, menées par les infinis o,Q.

Les valeurs de x en question sont de la forme gW-^hù^ où g^ h sont deux quantités réelles dont la première est absolument indéterminée, dont la seconde est algébriquement > o et < 1.

En appelant v un entier positif, posant pour abréger — =- ^ = /,

et exprimant en exponentielles les cotangentes figurant dans le développement (46), il vient (220) :

1° Si n = V,

col- (a?— /iû)= i ^- — 7 = iii-k-iq^e-^-^ 2<7*^c-*'-»-. . .),

M. — II. a6

402 DEUXièME PARTIE. — FONCTIONS d'ONE SEULE VARIABLE.

2** Si 71= — V,

En négligeant efleclivement leurs premiers termes, les séries entre parenthèses sont des progressions géométriques dont les raisons q^e~^^ q^e^ ont des modules tous < i, parce que ce sont des exponentielles ayant pour exposants les quantités

dont les parties réelles sont essentiellement négatives.

En additionnant membre à membre, il vient, pour toute valeur de n non nulle,

(5o) ' cotg(a? — /iÛ)-t-col^ (a: -4-/112)

et dans la série entre crochets, non seulement les modules des termes forment une série convergente (ce que nous avons vu implicitement à l'instant), mais encore la somme Sv de cette série de modules est le terme général d'une série

§1 -t- è>2 -+-. . • -\~ ôy "^

qui est elle-même convergente. Car si l'on pose e~*^P' = 6 <[] i , les termes de 8v sont, dès que v est ^ i, inférieurs à ceux, de la progression géométrique décroissante

d'où

inégalité dont le second membre est le terme général d'une série évidemment convergente, à cause de 6^~* < i.

Il en résulte (107*) que, dans la série qui a pour termes les somïnes des séries figurant dans les seconds membres des formules analogues à (5o), on peut écrire et grouper d'une manière quelconque les termes élémentaires de ces séries partielles. Gela posé si l'on somme séparément ceux de ces termes élémentaires qui contiennent les mêmes différences d'exponentielles, et si Pon rem-

:ne

ui

CHAPITRK X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES. 403

place ces différences par des sinus, la relation (46) donne

(n)^.(x)=-cotij*H--[^s.n-^+^,s.n>-*+...

C'est la formule que nous voulions établir dans la bande considérée.

II. Notre théorème est vrai pour la même fonction ^^^S« (œ) et pour les valeurs de x intérieures à la bande comprise entre les parallèles à n menées par les infinis A-û, [k -h i)û.

Si l'on pose j: = A:û h- r, en se souvenant que Aq = =- (359)

parce que nous supposons positif le second élément de — > il viendra

(52) tn>S,(a7) = (">S(r-4-X:û) = — X-~J'£-H("S,(r),

et r tombe dans la bande dont il était question ci-dessus (I). La formule (5i) est donc applicable au développement de ^^^S|(r) en série de sinus. En faisant ensuite X= x — /:û dans celte série^ portant celle-ci dans la relation (52), puis y remplaçant

sin/n— {x — kil) = sin ( it^-tt x — m.kiTzp \ par

(52 bis) cos/nX:2rp.sin/n— x — sin /n A: 2^^.00 s m— x,

on obtient dans la bande voulue le développement de ^^'Si(j?) en

série procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de — j^.

Mais il faut y laisser groupées, les deux parties du terme général mis sous la forme (62 bis).

^.>^ III. Notre théorème est applicable à toutes les autres fonc-

j^l- tions spécifiées dans son énoncé.

Il résulte implicitement des considérations précédentes, que, ^- ^ en amincissant la bande où Ton a développé ^^^S| {x), par quelque

404 DEUXIÈME PARTIE. — FONCTIONS D'uNB SEULE VARIABLE.

rapprochement simultané des parallèles qui la limitent (si faible qu^il soit d'ailleurs), on obtient un espace où les modules des termes de la série (5i), ceux aussi des termes (non dédoublés) de la série construite dans Talinéa (II), restent respectivement inférieurs à des quantités positives en série convergente. Le théorème sur la diflPérentiation des séries de fonctions (275* bis) est donc applicable à celles dont il s'agit. Il suffira donc (343, I) de différentier séparément tous les termes des séries en question pour obtenir, à des facteurs numériques près, des développements analogues des fonctions ^^^^Sa(x), S3(;r), ....

Nous avons raisonné dans le cas où p'', second élément de

p = -> est positif; s'il était négatif, le module de e^'^'9 serait > i ,

mais alors celui de g-^ic/p serait < i , et, en représentant cette dernière quantité par q, on arriverait aux mêmes formules.

363. Par un simple changement de variable on déduit des considérations précédentes que, quelle que soit la constante a, les /onctions ^^S, (x — a), ^^^Sa (x — a), . . . , Sj (^ — a), . . . , sont susceptibles de développements analogues à ceux spécifiés aux n^* 360 et 361, ainsi qiCau n^ 362 pour V intérieur de toute bande parallèle à II, qui ne contient aucun de leurs infinis OL -i- mil 4- /ïû.

364. De pareils développements sont applicables à toute fonction de x^ indéfiniment méromorphe et bipériodique, ceux du /i° 362 n'étant valables qu^à l'intérieur d'une bande dont les bords sont tracés parallèlement à une période en laissant tous les infinis de la fonction à, son extérieur.

Ce théorème résulte immédiatement de la combinaison du précédent avec celui du n° 347 appliqué à la décomposition de la fonction bipériodique considérée en fonctions S ayant toutes en commun la période dont il s'agit.

Nous devons passer sous silence les détails de la construclion de ces diverses formules et les transformations avantageuses qu'on peut leur faire subir parfois.

365. Nous représenterons aussi par ^^^^0{x)y ^^^0{x) les fonc-