CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÊR10DIQUE

lions 0{x) déduites de '^'S| (x), ^'^^Si (j?), par ÎDtégration et passage des logarithmes aux nombres 3 il nous suffira naturellement de parler de la première.

Comme on a ici An = o, Aq = ip -=- (359), les formules (34)

deviennent

(53) <")0(x -h n ) = —(^)0(x\ (n>0(a7 -f. û) = e=^ n r "^ « ; (n)O(ar). La première de ces relations donne

en vertu de quoi la fonction ^^^^0{x) est unipériodique avec la période iW\et cette dernière est élémentaire.QdXy d'après l'équation différentielle (Sa), toute période de ^^^0{x) est le produit de la période élémentaire de *^'S| {x) par quelque multiplicateur entier, pour lequel la première des formules (53) s'oppose à ce que Ton prenne i.

366. On a, pour le développement de cette fonction en série factorielle trigonométrique, la formule

(a7)=lim|

L ^^"^ïï^"

) sin^(a:-f-û) ^ ^

^^^0{x)—\\n\\ ... X— sin--r . TT it II

lin^ (a? — i2) sin^ (a:— Nl2) |

sin^(-û) sinJ(-Ni2) J

X • • . ^ ly {pour^ infini).

On obtient effectivement cette fonction (351 ), (359), (360, III)^ en formant le produit de tous les facteurs (3i) dont les jalons remplissent le rectangle [M, N], en cherchant ensuite la limite de ce produit pour M infini, puis la limite de cette limite pour N infini.

D'après le n° 293, les limites, pour M infini, des produits partiels de ceux de ces facteurs où n = o et de ceux où /i ^ o sont

*'"tï ^^ — ^^^ o(t, n)= — sin— a: et o(j?, H, /iû)= y

sin-(-/ili)

406 DEUXIEME PARTIE. — FONCTIONS D*UNB 8BULB VARUBLE.

mojennant quoi, la limile (toujours pour M inGni) du produit total considéré est bien le produit des 2N + i facteurs entre crochets dans le second membre de la formule (54) qui se trouve ainsi démontrée.

367. La relation (35) donne immédiatement la formule analogue

rsin!^(a? — e-4-Na) L sin-(— e-hNû)

\ sing(-e)

sin-^(ar — 0) sin^(a? — X • • • |> (pour ^infini).

iin^(a?-0 — Nû)!

sinJ(-e-Ni2) J

368. L'accouplement des deux facteurs où le multiplicateur de û a des valeurs égales et de signes contraires, suivi de transformations faciles, change la formule (54) en cette autre, ne contenant plus qu^une série factorielle simplement infinie :

<n)0(:r)=Hsin^xl 14- ÎL-)...( |^ V/'--

'^ ^ it II \ (i y)î / \ ^ (1-^')* /

ait A / 'Alt

n . ,: /i-^ycos-a. + y«\ li—,q

= — sm— ■ x

"cos— ir-f-ç*« \

La constante q est toujours définie par la formule (49)? et il

n^importe pas ici que p", second élément de p = => soit ^o ; mais dans le premier cas on peut écrire

(">C/(a?) = - sin- X- ; ^^ 1

parce que les séries factorielles formant les termes de cette fraction sont toutes deux convergentes (370, inf,).

La formule (55) se met par les mêmes moyens sous des formes semblables que le lecteur construira facilement.

Ces développements des fonctions ^0(j?), ^^0{x^ 8) reodent