CHAPITRE II. — FONCTIONS HÊROMORPHES

Chacune des constantes (i 5) qui ne serait pas nulle, introduirait dans l'intégrale un terme logarithmique dont nous ne pourrons étudier la nature que dans le Chap. V (in/,).

42. Vinverse arithmétique de f{x)^ qui est aussi méromorphe dans l'aire S (30, II), y a pour zéros et pour infinis les infinis et les zéros de f{x)^ aux mêmes degrés de multiplicité respectivement.

La formule (2) donne effectivement

f{x) "" (a? — a,)'«. ...(ar — a^)'«f J(x)'

et, dans Taire S, le dernier facteur du second membre est une fonction olotrope qui ne peut s'y évanouir, puisqu'il est l'inverse arithmétique de f(^), fonction jouissant de cette double propriété (2S0*, II).

En particulier, /?owr obtenir le degré de multiplicité d'un infini

de f{x)^ on peut chercher son degré comme zéro de ^i — \' c'està-dire V ordre de la première des dérivées de cette dernière fonction qui ne s'y évanouit pas,

43. Une fonction d'une seule variable g{x) est méromorphe dans l'aire quelconque T, quand elle cesse d'y être olotrope seulement en un nombre limité de valeurs de x

pour lesquelles son inverse arithmétique redevient olotrope.

En pi, —- — - qui est supposée olotrope s'évanouit certainement,

car sans cela g[x)^=\ : — - — - ne cesserait pas d'être olotrope (250*, II); on a donc

où V| est quelque entier positif et yj^x) quelque fonction olotrope

et non nulle en 3,. Il en résulte

^i(x) élant ololrope el non nulle en [3,.

Celte nouvelle fonction est encore ololrope dans loul le reste de Taire ï, sauf en ^^^ • • • 1 ?x) où son inverse arithmétique le redevient; la relation précédente donne effectivement

le second membre étant ololrope partout où «-(jt) Test elle-même, son inverse . - l'étant en pa par exemple, parce que

— — ■ est supposée Têlre et que q-— Test aussi à cause de

p^non = P|. On trouvera donc de même

où gi{x) est olotrope partout où ^(j;) Test elle-même et de plus en ^:J|, p^, •••, p/, où par suite g%{x) est olotrope dans toute Taire T. Or la multiplication membre à membre des relations (17), (18) donne, après suppression des facteurs communs aux deux membres,

ffi^) =

donc g{x) est méromorphe dans Taire T, puisque les deux termes de cette fonction y sont olotropes (29).

Phases critiques des fonctions composées rationnelles de fonctions simples d'une seule variable, olotropes et môromorphes.

4t. Les principes exposés dans ce Chapitre et dans le précédent fournissent la solution d\me question qui se pose à chaque instant :

Discuter la phase critique (146*) dans laquelle entre une