CHAPITRE X. — DÊVELOPPKMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES
relativement facile la construction de Tables contenant les valeurs de leurs logarithmes, fournissant par suite (355) celles de toute fonction méromorphe ayant II et û pour périodes (C/. 292, III).
369. La fonction ^^'O(^) peut être développée en une série trigonométrique très remarquable; mais avant de la construire, il nous faut entrer dans quelques considérations générales qui, d'ailleurs, sont utiles dans plus d'une autre circonstance.
Étant donnée la suite des valeurs d'une variante à un indice,
le produit P^ des n premières est une nouvelle variante de même indice /i, qui peut ou non tendre vers quelque limite P, pour n infini. On dit dans le premier cas que la série /actorie lie
(56) UiUi...lln
ayant Un pour /acteur général, est convergente, et l'on nomme la limite P son produit, que Ton représente aussi par la notation (56).
On dit dans le second cas qu'elle est divergente, et aussi qu'elle a un produit infini, si P;, est une quantité infinie.
Quand l'un des facteurs est nul, P,, finit par l'être sans cesse, et la série a un produit = o. Ce cas excepté, on peut formuler cette observation générale :
Pour que la série (56) soit convergente et ait un produit différent de o, il est nécessaire et suffisant que Pn,p^ produit des p /acteurs qui suivent le /i*^'"*, tende vers i pour n infini, quelque relation qui puisse être établie entre n et p.
On a effectivement
d'où \im(Pn^p — i) = o, si l'on suppose que Pn tend vers une limite ^ o.
Réciproquement, si limP„,p= i, on peut assigner un entier v assez grand pour que, quel que soit/?, Pv,;y soit de la forme i + &, e ayant un module inférieur à une quantité positive e-< >• Alors
pour toute valeur de n supérieure à v, P« = PvPv,n v a un module inférieur à (i + s)modPv, et, dès lors, n'est pas inGnie. Donc Prt+/, — P/i = P«(P/i,/» — i) tend vers zéro, et P« est une variante douée de limite (54*).
Pour les mêmes valeurs de /i, on a enfin modP/, > (i — e) modPy ; donc limP,, n'est pas nulle.
370. De là il résulte notamment que si la série (56) est convergente sans avoir un produit nul, son facteur général tend vers i , que par suite il est de la forme
Un=l-^C[
nt
OÙ an est une quantité infiniment petite. On a maintenant la règle particulière de convergence que voici :
Si
(57) «1, tf], . . ., Œ/i, . . .,
modules de
forment une série (ordinaire) com^ergente, la série factorielle
(58) (i -4- ai)(i + a,) . . . (i -h a„) . . .
est cons^ergente aussi {avec un produit ^ o, quand aucun facteur ne s'évanouit).
I. On obtient une série convergente en écrivant, dans un ordre quelconque, les quantités
produits des modules (57) associés odo, lài, 2^2, 3^3, . . . , indéfiniment et de toutes les manières possibles y mais sans répétition.
En posant
(60) ai -h ai -h «8+...= Si,
et formant les carré, cube, ... de cette série par la règle du
