CHAPITRE X. — DBTBLOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRIODIQUES

n® 111*, on voit iinmédialement que les séries

«1 fltj -f- «1 otj -4- ajftj -+-... = Sji (^0 { «!«,«, -H = 23,

sont convergentes, et que leurs sommes satisfont aux inégalités

Si l'on a S, < I , la série i + S, + Sj + . . . est convergente, et la série i -i- S, + 22 + . . . aussi à plus forte raison^ la série de séries, formée par i suivi des premiers membres des égalités (60), (61), remplit donc les conditions permettant de lui appliquer le théorème du n° 107*, d'où résulte immédiatement le point en question.

Mais il subsiste encore si Ton a Sf ^ i ; car alors, en appelant ay un terme assez éloigné dans la série (60) pour que le reste correspondant SJ'» soit <i, puis If^\ 2'^\ ... ce que deviennent les séries (61) quand on y substitue o aux modules

puis enfin

les sommes des produits de ces derniers modules associés 1 à i, 2 à 2, . . . , V à V, on a évidemment, au delà de /i = v,

moyennant quoi i, S|, Sj, £3, ... forment encore une série convergente, parce que la condition S7'< 1 assure la convergence de la série 1 + 2^^+ S!J'^ + . . . , comme nous l'avons constaté tout à . l'heure.