Sous la même hypothèse, la série factorielle
(62) (i-haiar)(n-ajar)...(i-+-artir)...
converge pour toute valeur de x^ et a pour produit une fonction indéfiniment olotrope de cette variable.
Car, en appelant \ un module quelconque attribué à x^ la con~ vergence de la série (60) entraîne toujours celle de la série correspondante
en outre, l'application des considérations de Talinéa II du numéro ci-dessus aux quantités
\j a\X^ Or^^i CL%x^ •••7 aia^x^y aia^x^j a%aix^^ .,., axaia^x^, ...,
permet de mettre immédiatement le produit de la série factorielle (62) sous forme d'une série entière en x dont la convergence est illimitée.
On remarquera que (si an ^ o) cette fonction indéfiniment olotrope a les quantités
ai
y an
pour zéros tous simples, et qu'elle n'en peut avoir d'autres (369).
372. Nous avons encore quelques mots à dire sur les séries doublement infinies de la forme
(63) ... -h a na?-'»-h...-{-a-ia7->-i- ao -+- «i ic -H . . . -h a^ ^"* H- • • ■ ,
c'est-à-dire procédant suivant les puissances à exposants entiers d'une seule variable x^ croissant (algébriquement) de gauche à droite, décroissant de droite à gauche.
