CHAPITRE X. — DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS BIPÉRI0DIQUE

I. Une pareille série pouvant être considérée comme provenant de la réunion de deux séries entières par rapport, Tune à x^ Tautre

à -, la condition de sa convergence pour quelque valeur de x

est l'existence de deux quantités positives S < R telles, que le module du terme général soit fini pour rood^ = R quand son indice est infini positif, et aussi pour mod^ = S quand cet indice est infini négatif (272), (114*).

II. Quand de pareilles quantités existent, les modules mêmes des termes de la série forment une série convergente pour S < mod^< R, c'est-à-dire pour toute valeur de x intérieure à la couronne de convergence [S, R] comprise entre les circonférences décrites de l'origine O^ pour centre avec S, R pour rajons {loc. cit.),

III. Dans la couronne de convergence [S, R], la somme de la série (63) est une fonction olotrope de x.

Les séries entières

aj^ant évidemàient les cercles de convergence [O^, R], 1 Ox^-^

décrits des origines 0^, Ox' pour centres, avec R, g pour raj^ons, j sont respectivement olotropes (140*); la fonction composée ^(^x)='^(-j est donc olotrope à l'extérieur du cercle [Oj., S] décrit de Ox pour centre avec S pour rayon, parce que la fonction simple — y jouit de cette propriété, et qu'elle n'y prend que des

valeurs intérieures au cercle Ox', 4 (153*), (248*). La somme

ff{x) -^- ^{x) de la série (63) est donc olotrope dans l'espace à la fois intérieur à [Ox, R] et extérieur à [Ox, S], c'est-à-dire dans la couronne [S, R].

Comme à l'intérieur de la même couronne, la série (63) ne cesse pas d'être convergente quand on réduit ses termes à leurs modules (II), on y peut différentier ou intégrer sa somme terme à terme (275* bis).

412 DEUXIÈME PARTIE. — PONCTIONS d'UNE SEULE VARIABLE.

IV. Pour que la somme /(w) de la série (63) soit nulle identiquement dans la couronne précitée, il suffit évidemment et il faut aussi que tous ses coefficients soient nuls.

I® Pour toutes valeurs de x non extérieures à une couronne

comprise entre les circonférences de centre commun Ox et de

rayons S', R' donnant

où les lettres S, R conservent la signification qu'elles avaient dans Falinéa II, on peut assigner des limites supérieures Mm, N^n indépendantes de X et tendant vers o pour m, — n infinis, aux sommes des deux séries (simplement infinies) formées par les modules des termes de (63) dont les indices surpassent m ou sont inférieurs à — n, et aux modules mêmes des sommes des deux séries formées par les termes dont il s'agit (117*).

2° En s*appuyant sur cette observation, et en raisonnant comme au n° 130*, on prouvera sans difficulté que, parmi les valeurs de x ayant un même module r compris entre S et R, il en existe nécessairement quelqu'une rendant

inod/(a:)^a^r*',

module correspondant d'un terme quelconque de la série (63). Si donc on a toujours /(^) = o, on aura certainement a^ = o pour toute valeur positive, nulle ou négative de l'indice g,

V. Pour que deux séries de cette forme aient des sommes identiquement égales, il est suffisant et nécessaire que les coefficients de deux termes semblables y soient indéfiniment égaux {Cf. 137*).

VI. Pour toutes valeurs de x intérieures à une couronne de coni^ergence commune à plusieurs séries de la forme (63), on peut y comme si elles étaient de simples polynômes entiers en x et x~* , développer en une nouvelle série de même forme, admettant la même couronne de convergence, toute expression entière formée avec leurs sommes {Cf. 116*, VII).